伽罗瓦对应

伽罗瓦连接

在数学中，特别是在秩序理论中，伽罗瓦对应是两个部分有序集（poset）之间的特定对应。同样的概念也可以在前置集合或类中定义；本文介绍了有序集的常见情况。伽罗瓦对应概括了伽罗瓦理论中研究的子群和子域之间的对应关系（以法国数学家ÉvaristeGalois命名）。

定义

（单调）伽罗瓦对应

令（A，≤）和（B，≤）是两个部分有序集。这些有序集之间的单调伽罗瓦对应由两个单调函数组成：F：A→B和G：B→A，使得对于B中的A和b中的所有a，我们有：当且仅当a≤G（b）时，F（a）≤b。

在这种情况下，F称为G的下连接，G称为F的上连接。语法上，上/下术语是指功能应用出现相对于≤的位置术语“伴随”是指单调伽罗瓦对应是类别理论中的一对伴随函子的特殊情况，如下文进一步讨论的。这里遇到的其他术语对于较低（分别上）的伴随是左邻近（分别右伴）。

伽罗瓦对应的基本属性是，伽罗瓦对应的上/下伴随唯一地确定另一个：

F（a）是最少的元素〜b，因为a≤G（〜b），和G（b）是最大的元素〜a，因为F（a）≤b。

其结果是，如果F或G是可逆的，则每个都是另一个的倒数，即F = G -1。

给定与较低的伴随F和上部伴随G的伽罗瓦连接，我们可以考虑被称为关联闭包算子的组合GF：A→A，称为关联核函数的FG：B→B。两者都是单调和幂等的，我们对于A中的所有a和b（b）中的所有b都有≤GF（a）。

A到B的伽罗瓦插入是伽罗瓦对应，其中闭包算子GF是A上的。

反序伽罗瓦对应

上述定义在当今的许多应用中是常见的，在晶格和域理论中是突出的。然而伽罗略理论中的原始概念略有不同。在这种替换的定义中，伽罗瓦对应是两个有序集 A和B之间的一对反序，即顺序反转的函数F：A→B和G：B→A，使得b≤F（a）当且仅当a≤G（b）。

这个版本中F和G的对称性擦除了上下的区别，这两个函数被称为极性，而不是伴随。因为每个极性唯一地确定另一个：

F（a）是a≤G（b）的最大元素b，

G（b）是b≤F（a）的最大元素a。

GF：A→A和FG：B→B是相关的封闭算子;；它们是单体幂等地图，对于B中的所有b，对于A中的所有a和b≤GFR（b），属性a≤GF（a）。

伽罗瓦对应的两个定义的含义非常相似，因为A和B之间的一个反斜线伽罗瓦对应只是A与B的双Bop之间的单调伽罗瓦对应。所以在伽罗瓦对应上的所有以下语句可以很容易地转换成关于伽罗瓦对应的声明。

举例

单调伽罗瓦对应

格子

关于伽罗瓦对应的其他有趣的例子在关于完整性的文章中有描述。粗略地说，事实证明，通常的函数∨和∧是较低的，并且上部与对角线映射X→X×X相邻。部分阶的最小和最大的元素由独特的函数X→{1}。进一步，甚至完整的格子可以通过存在合适的伴随来表征。这些考虑给出了伽罗瓦对应在秩序理论中普遍存在的一些印象。

跨度和关闭

选择一些具有基础集合的数学对象X，例如组，环，向量空间等。对于X的任何子集S，令F（S）是包含S的X的最小子对象，即子组，子环或由S生成的子空间。对于X的任何子对象U，令G（U）是U的底层集合（我们甚至可以将X作为拓扑空间，令F（S）为S的关闭，并以 “X的子对象”X的闭合子集。）现在，F和G在X的子集和X的子对象之间形成单调的伽罗瓦对应，如果两者都是通过包含的顺序排列的。

语法和语义

威廉·劳威尔的一个非常一般的评论是语法和语义是伴随的：将A作为所有逻辑理论（公理化）的集合，而B是所有数学结构集合的权力集合。对于理论T∈A，令F（T）是满足公理T的所有结构的集合; 对于一组数学结构S，令G（S）是逼近S的公理化的最小值。然后，当且仅当T逻辑地表示G（S）时，F（T）是S的子集： “语义函子”F和“语法函子”G形成单调的伽罗瓦对应，其语义是较低的伴随。

伽罗瓦理论

例子来自伽罗瓦理论：假设L / K是一个字段扩展。令A是包含K的L的所有子场的集合，由包含，排序。如果E是这样一个子场，则为保持E固定的L的场自动化组写Gal（L / E）。令B为Gal（L / K）子集，由包含，排序。对于这样一个小组G，将Fix（G）定义为由G的所有元素保持固定的L的所有元素组成的字段。然后映射E↦Gal（L / E）和G↦Fix（G）形式一个反义词伽罗瓦对应。

线性代数：正交互补

给定内积空间V，我们可以形成V的任何子空间X的正交补码F（X）。这产生了通过包含排序的V与其本身的子空间集合之间的一个二次伽罗瓦对应；两个极性都等于F。

给定向量空间V和V的子集X，我们可以定义F（X），其由在V上消失的V的双重空间V *的所有元素组成。类似地，给定V *的子集Y，我们定义其歼灭者G（Y）= {x∈V | φ（x）= 0∀φ∈Y}。这给出了V的子集与V *的子集之间的一个反斜线伽罗瓦对应。

属性

在下文中，我们考虑（单调伽罗瓦对应f =（f *，f *），其中f *：A→B是上面引入的较低伴随。一些有帮助和指导性的基本属性可以立即获得。通过伽罗瓦对应的定义属性，对于A中的所有x，f *（x）≤f*（x）等于x≤f*（f *（x））。通过类似的推理（或仅通过应用对于秩序理论的二重性原则），对于B中的所有y，我们发现f *（f *（y））≤y。这些属性可以通过说复合函数f * o f *是通缩来描述。

现在考虑x，y∈A，使得x≤y，然后使用上述得到x≤f*（f *（y））。应用伽罗瓦对应的基本属性，现在可以得出f *（x）≤f *（y）。但这只是表明f *保留任何两个元素的顺序，即它是单调的。同样，类似的推理也会产生f *的单调性。因此，明确地不必将单调性纳入定义。然而，提到单调性有助于避免对伽罗瓦对应的两个替代概念的混淆。

伽罗瓦对应的另一个基本属性是对于B中的所有x，f *（f *（f *（x）））= f *（x）。显然，我们发现 f∗( f( f∗(x))) ≥ f∗(x)，因为f * o f *是如上所示的通货膨胀。另一方面，由于f *○f *是通货紧缩，而f *是单调的，所以发现 f∗( f( f∗(x))) ≤ f∗(x)。

此外，我们可以使用这个属性来得出结论 f( f∗( f( f∗(x)))) = f( f∗(x))，和 f∗( f( f∗( f(x)))) = f∗( f(x))，f * o f *和f * o f *是幂等的。当且仅当f是残差映射（相应的残差映射）时，可以显示（见Blyth或Erné），函数f是较低（相应的）上限。因此，残差映射和单调伽罗瓦连接的概念基本相同。

关闭伽罗瓦对应

上述发现可概括如下：对于伽罗瓦对应，复合f * o f *是单调（单调函数的复合），通货膨胀和幂等幂。这说明f * o f *实际上是A上的闭包算子。双重，f * o f *是单调的，通货紧缩的和幂等的。这种映射有时被称为内核操作符。在帧和区域的上下文中，复合f * o f *被称为由f引起的核。核诱导框架同态;如果一个区域的一个子集是由一个核子赋予的，则称为一个子集。

相反地，在某些有序集A上的任何闭合运算符c产生伽罗瓦对应，较低的伴随f *只是对c的图像的c的集中度（即作为对闭合系统c（A）的映射映射））。然后，通过将A（A）包含在A中，将每个关闭元素映射到自身，将其视为A的一个元素，给出上部伴随f *。这样，闭合运算符和Galois连接被认为是密切相关的，每个都指定另一个的实例。类似的结论也适用于内核运算符。

上述考虑还表明，A（元素x与f *（f *（x））= x）的闭合元素被映射到内核运算符f * o * *范围内的元素，反之亦然。

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