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余函数

数学术语

余函数（complementary function or cofunction）有两个义项。一个是指三角函数的基本概念之一，设f与g为两个三角函数，α为任意角，β为它的余角。如果f在α所取的值等于g在β所取的值，则称f与g互为余函数。例如正弦和余弦，正切和余切，正割和余割，正矢和余矢，分别互相称为余函数。还有一个是指求解齐次线性微分方程时的余函数。

求解方程时的余函数
基本介绍
对于非齐次线性微分方程(L)：
考虑令右边为0的齐次线性微分方程(H)
(L)的通解由(H)的通解与(L)的一个特解之和给出。因而把(H)的通解称为（L）的余函数。
n阶齐次常系数线性微分方程的余函数
齐次常系数线性微分方程解法的一个主要特点是，不用积分仅用代数方法就能求出方程的通解，即余函数。
n阶齐次常系数线性微分方程
的特征方程为
同样，该代数方程的根决定了n阶齐次常系数线性微分方程通解的形式。
①具有n个相异的根，则其余函数为
式中，为n个任意常数。
②特征方程有一对单复根，则其余函数为
③特征方程有k重实根m，则其余函数有k项，为
④若特征方程有一对k重复根，则其余函数有2k项，为
在式(2)～式(4)中，和分别为k个任意常数。
总之，解n阶齐次常系数线性微分方程通解可以不用积分，只要求出齐次线性微分方程特征方程n个线性无关的根，则有微分方程的通解式
若线性相关，则不是n阶齐次常系数线性微分方程的通解。
三角函数的余函数
定义
设f与g为两个三角函数，α为任意角，β为它的余角。如果f在α所取的值等于g在β所取的值，则称f与g互为余函数。例如正弦与余弦，正切与余切等。
详细分析
由上面两个公式（一个角的正弦等于它的余角的余弦，一个角的余弦等于它的余角的正弦）可知正弦与余弦互相称为余函数。
由上面两个公式（一个角的正切等于它的余角的余切）可知正切与余切互相称为余函数。
由上面两个公式（一个角的正割等于它的余角的余割）可知正割与余割互相称为余函数。
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