余数

数学用语

余数，数学用语。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，取余数运算 a mod b = c（b不为0）表示整数a除以整数b所得余数为c。例如：7÷3 = 2…1，更专业的符号也可以写作 7÷3=2 又 1/3，或者 7 mod 3=1。

基本解释

余数指整数除法中被除数未被除尽部分（这里以正数为例），且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）的整数。例如：27除以6，商数为4，余数为3。

一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。例如：1除以2，商数为0，余数为1；2除以3，商数为0，余数为2。

定义

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

取余数运算：

a mod b = c 表示“整数a除以整数b，所得余数为c”。

余数的计算公式：。

其中，⌊ ⌋为向下取整数运算符。向下取整数运算，英文称为Floor，用数学符号⌊ ⌋表示。

例如：⌊3.476⌋=3，⌊6.7546⌋=6，⌊-3.14159⌋=-4，。

性质

余数有如下一些重要性质（a，b，c 均为自然数）：

（1）余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值（适用于实数域）；

（2）被除数 = 除数 × 商 + 余数；

除数=（被除数 - 余数）÷ 商；

商=（被除数 - 余数）÷除数；

余数=被除数 - 除数 × 商。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23、16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

例题分析

例1：5120除以一个两位数得到的余数是64，求这个两位数。

分析与解：

由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5120-64=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=64×79。

由性质（1）知，除数应大于64，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，

符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例2：被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，

被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，

所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，

被除数=2058-59=1999。

答：被除数是1999，除数是59。

例3：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

解：因为甲=乙×11+32，

所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

所以乙=（1088-32）÷12=88，

甲=1088-乙=1000。

答：甲数是1000，乙数是88。

例4：有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

由题意知（70+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

因为110÷58=1…52，又因为52>50，所以58不合题意。所求整数是29。

例5：求478×296×351除以17的余数。

分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9…1。所求余数是1。

例6：甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

（11×25）÷36=7…23，

即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

由例6看出，将实际问题转化为数学问题，有助于思考解题。

例7：5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.

解：这个质数能整除

5397-15=5382，

而 5382=2×31997×13×23。

因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23。

当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数。

例8：求 645763除以7的余数。

解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

645763→15763→1763→363→13→6.

如果演算能力强，上面过程可以更简单地写成：

645763→15000→1000→6.

带余除法可以得出下面很有用的结论：

如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除。

例9：有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即

1000-967=33=3×11，

2001-1000=1001=7×11×13，

2001-967=1034=2×11×47.

这个整数是这三个差的公约数11.

请注意，不必求出三个差，只要求出其中两个就够了。因为另一个差总可以由这两个差得到。

例如，求出差1000-967与2001-1000，

那么差

2001-967

=（2001-1000）+（1000-967）

=1001+33

=1034

从带余除式，还可以得出下面结论：

甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。

例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5+9=14，被13除的余数1。

例10：有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？

解：按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦。根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：

从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同。因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为

1998= 8×249+6，

所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.

一些有规律的数，常常会循环地出现.计算方法，就是循环制.计算钟点是

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

这十二个数构成一个循环。

按照七天一轮计算天数是

日，一，二，三，四，五，六。这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数

0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循环，用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事。

循环现象，称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例 10中余数的周期是8。研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事。

下面再举出两个余数出现循环现象的例子。在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：

甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.

例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27=999被 11除的余数是 4×5=20被 11 除后的余数 9。

1997=7×285+2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2=4.

例 11：191997被7除余几？

解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.

先写出一列数

2，2×2=4，2×2×2 =8，

2×2×2×2=16，…

然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律。列表如下：

事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）

从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮。循环的周期是3。

1997=3×665 +2

就知道21997被7除的余数，与21997 被 7除的余数相同，这个余数是4。

再看一个稍复杂的例子。

例12：70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：

0，1，3，8，21，55，…

问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？

解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：

3=1×3-0，

8=3×3-1，

21=8×3-3，

55=21×3-8，

……

不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了。能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：

将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是。

用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：

注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1

从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是 12

70 =12×5+10

因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4。

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照如今的话来说：

一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人提出的。许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的。这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法。

例13：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

解：除以3余2的数有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…

它们除以12的余数是：

2，5，8，11，2，5，8，11，…

除以4余1的数有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…

它们除以12的余数是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，…

一个数除以12的余数是唯一的。上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。

上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数。这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的。

如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数。很明显，满足条件的数是很多的，它是

5 + 12 × 整数

整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上 12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件。《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个。然后再与第三个条件合并，就可找到答案。

例14：一个数除以 3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。

解：先列出除以3余2的数：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5余3的数：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

8+15×整数，

列出这一串数是

8， 23， 38，…，

再列出除以7余2的数

2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合题目条件的最小数是23。