余数定理

数学定理

设n为大于1的奇数，当连续整数列：0，1，2，3，…，n-1各项都分别乘以一个与n互素的自然数m，再除以n后，若把所得余数按从小到大的顺序排列起来仍为0，1，2，3，……，n-1共n项的连续整数列。

余数定理

在解决高次方程时，下面的定理是有用的，把这个定理称为余数定理

余数定理：用x-α去除多项式

所得的余式等于这个多项式在x=α处的值，即等于　。

证明

为了证明这个定理，我们用x-α去除多项式f(x)，得到商q(x)和余式r(x)。这个余式是次数低于除数x-α的多项式，即是零次的，因此r(x)=r是个常数。

于是f(x)=(x-α)q(x)+r

为了得到常数r，把x=α带入这个等式，得到f(α)=r。余数定理证毕。

推论

如果数α是多项式f(x)的根（即f(α)=0），那么用x-α去除这个多项式没有余数。

例如，从这个定理可以知道，用x-α去除多项式没有余数,事实上，用α代替x得到。建议读者证明：多项式和能被x+α除尽。

应用

余数定理可以用来求余数，要求f(x)除以一次式x-b时，只需以b代入多项式f(x)中的x即得，在计算时以用综合除法为便。余数定理主要用于分解因式，若能检验出有一个常数b能使f(b)=0，则f(x就有了一个因子(x-b)在解方程f(x)=0的过程中，可以逐次用视察法与综合除法结合，求出f（x）的一个因式，就可以将求解的方程次数降低一次。

中国余数定理

一盘围棋下完后，同学甲突然问同学乙：“棋盘上黑子有多少？”同学乙将棋盘上黑子数了一下，似乎有所悟，只是说：“如果三个三个地数，最后余下两个，五个五个地数，最后余下三个，七个七个地数，最后余下四个。棋盘上黑子的数目正好符合这个情况。”说完他们俩都会心地笑了。

棋盘上黑子到底有多少个呢？原来他们正好碰上类似《孙子算经》中讲到的一道题了。《孙子算经》是中国古代的一部优秀数学著作。对这类问题，中国古代数学史上还称为“鬼谷算”“秦王暗点兵”“剪管术”“隔墙算”“神奇妙算”“大行求一术”等等。

这个问题的解法并不难。用数学语言叙述这道题就是：某数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求某数。

我们先来考虑一下什么数除以3余2？很清楚，既然2是余数，那么把2再加上3得5，5除以3还是余2。继续这样做，5+3得8，它除了除以3余2外，而且除以5余数是3。8是同时满足上述问题中，“三个三个地数，最后余下两个，五个五个地数，最后余下三个”这两个条件的。最后再在8这个数上每次加15（3和5的最小公倍数）。

8+15=23，23+15=38，38+15=53。我们发觉53不但除以3余2，除以5余3，而且被7除余4。这样答数就是53了。当然，53是符合上述问题要求的最小一个正整数，除此之外还有；53+105=158，158+105=263……等等，它们都有此性质。一个棋盘上共有192=361格，这两位同学经过了一百多次来回的厮杀，才宣告战斗结束。于是可以知道棋盘上黑子共有158个。这个问题的解题思路是，先从用3去除余2的数中去找用5去除余3的数，再从“3除余2，5除余3”的数中去找用7去除余4的数，并得到答数。

古人经过精心研究，找出解题规律，并用口诀形式来表示：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”它的意思是用：70乘“3除”所得的余数，21乘“5除”所得的余数，15乘“7除”所得余数，然后总加起来。如果它大于105，则减105，还大再减，直到最后得到答数。

具体算式是：70×2+21×3+15×4=263，263-105=158，158-105=53。这里挑选了70，21，15去乘余数，主要是考虑到70是3除余1，5与7都除尽的数；21是5除余1，3与7都除尽的数；15是7除余1，3与5都除尽的数；而105又是3，5，7都能除尽的数。

有了这个口诀后，我们可以做各种各样余数的这一类题目了。不妨再举一例：某数除以3余1，除以5余2，除以7余6，求某数。

具体算法如下：70×1+21×2+15×6=202，202-105=97。所以某数是97。验算一下果真不差。

这个向题以及它的解法得到世界各国的数学家重视，大家都把它叫做“孙子定理”或“中国余数定理”。而且在电子计算机的设计中也有它的重要应用。

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