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保角变换

数学名词

取z=ω(ζ)，式中ζ=ξ+iη，则在像平面ζ上的每一个点(ξ，η)必在物理平面z上有一个点(x，y)与之对应。假设S为ζ平面上的一条曲线，若令某点沿S移动，则对应点z在z平面上划出一条曲线S'。如果ω(ζ)是解析的，且ω'(ζ)≠0，则在ζ平面上原来夹角为α的两条曲线S1和S2，经过上述变换，在z平面上划出的两条曲线S1'和S2'的夹角仍为α，则变换z=ω(ζ)称为保角变换。

基本知识
当变换为单值函数时，对于Z平面上的一个点，在W平面就有一点叫与之对应；对于Z平面上的一条曲线C，W平面就有一条曲线C'与之对应；同样，在Z平面上的一个图形D，也在W平面就有一个图形D'与之对应，这种对应关系称为映射，或称为变换．如图1所示。在这种变换中，尽管图形的形状要发生变化，但是相应的两条曲线之间的夹角却保持不变，所以该变换也叫做保角变换。
为了证明保角性，设Z平面的点，沿曲线有一个增量，沿曲线有一个增量；相应的W平面的点，沿曲线有一个增量，沿曲线有一个增量，于是
当不等于零时，它们之间的辐角关系为
以上两式相减，得
即
这样就证明了保角性。在变换前后，图形的形状要产生旋转和伸缩，但是两条曲线之间的夹角保持不变。使用保角变换法求解静态场问题的关键是选择适当的变换函数，将Z平面上比较复杂的边界变换成W平面上较易求解的边界。
注意事项
使用保角变换应注意以下几点。
(1)如果变换以前势函数满足拉普拉斯方程，则在变换以后势函数也满足拉普拉斯方程。如果变换以前势函数满足泊松方程，即
则在变换以后，势函数满足以下泊松方程：
式中，。这表明，二维平面场的电荷密度经过变换以后要发生变化，但是电荷总量不变，其理由是
而
所以
(2) 在变换前后，Z平面和W平面对应的电场强度要发生变化，它们之间的关系为
这是因为，从Z平面变换到W平面时，线元的长度要伸长倍，相应的电场强度要减小倍。
(3) 变换前后，两导体之间的电容量不变。这里的电容是指单位长度的电容。因为变换前后两个导体之间的电位差不变，两导体面上的电场和电荷密度发生了变化，但是，导体上的电荷总量不变。如取为Z平面上导体表面，为变换以后W平面上的导体表面，则沿轴线方向单位长度的上的总电荷为
则沿轴线方向单位长度的上的总电荷为
因为
所以有
可以使用这个性质方便地计算两个导体之间的电容量。
例题解析
例1 设无限长同轴线的内导体半径为，电位为；外导体内半径为b，电位为零。内、外导体间充满介电常数为的均匀介质。试计算同轴线的电位分布及单位长度的分布电容。
解：应用对数形式的复变函数计算电位分布。因为是二维平面场，在Z平面上导体边界形状是圆，所以选择u为等位线。
设，令
由边界条件确定常数A和，即
于是
则
令，得
因此，Z平面上u是以轴心为圆心、以为半径的一簇同心圆。
Z平面上内、外导体间的介质区域，通过保角变换变为W平面上一长方形区域。在W平面上计算单位长度电容，只需求出距离为、宽度为的平板电容器的单位长度电容，所以计算要简单得多。
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