倍周期分岔

混沌理论中一个的概念

倍周期分叉(period doubling bifurcation)，又称倍周期分岔、周期倍化分叉、叉形分岔，是混沌理论中一个非常重要的概念，是研究混沌理论必须理解的概念。

物理定义

倍周期分叉过程是一条通向混沌的典型道路，即可以认为是从周期窗口中进入混沌的一种方式。通过倍周期分叉到达混沌现象的过程中，会依次经过周期1，周期2，……周期4，混沌单吸引子和混沌双吸引子。

从任何初始值出发迭代时, 一般有个暂态过程, 但当迭代次数很大, 即当n→∞时, 演化会导致一个确定的终态. 终态可取无穷多种值, 对初值极为敏感, 成为不可预测, 开始出现混沌现象。在此前终态都是周期的、可预测的, 并与初值无关。

混沌现象产生于不可积系统, 由于方程解的长期行为对初值十分敏感, 出现了貌似随机的行为。在同一时期, 非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端现象, 发现了孤立波 (或孤立子) 的存在. 它产生于一批非线性完全可积系统, 它们的解具有规则性和出奇的稳定性, 说明非线性还在产生有序性方面有重要作用。

自然定义

在大自然中，在现实生活中，事物在经历了一定的阶段之后，就必然会迎来一个崭新的阶段。在新旧阶段交替的时点上，人们将面临选择的两难困境，同时，人们也只能在各种两难选择方案中确定其中之一种，作为其发展的道路。这种选择的过程，就称为倍周期分叉现象。它在现实世界的政治、经济、生活中具有普遍性。

倍周期分叉现象举例--logistic映射

生态学中的虫口模型(亦即Logistic映射)可用来描述倍周期分岔。

x(n+1)=u*x(n)*(1-x(n)),u属于[0,4],x属于(0,1)这是1976年数学生态学家R. May在英国的《自然》杂志上发表的一篇后来影响甚广的综述中所提出的，最早的一个由倍周期分岔通向混沌的一个例子。后来经过Feigenbaum研究得出:一个系统一旦发生倍周期分岔，必然导致混沌。他还发现并确定了该系统由倍周期分岔通向混沌的两个普适常数(也称为Feigenbaum常数)。　对于一维 Logistic映射，研究的比较早也比较详细，比如该映射之所以产生混沌，有人归纳出它具有两个基本性质、逆瀑布、周期3窗口、U序列等等。但是一维Logistic映射仅有一个自由度，利用它只能产生一条线或一条曲线，而做图像，至少需要两个或以上个自由度，为此，孙海坚等人给出了LMGS定义。王兴元还扩展了LMGS定义，在此基础上，就可以分析2维及其以上的系统，分析图形与吸引子的结构特征，探讨了图形与吸引子之间的联系;并由一维可观察计算系统混沌定量判据的方法，计算了吸引子的 Lyapunov指数和Lyapunov维数。

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