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倍角公式

三角函数中的一类公式

倍角公式(duplication formulas for trigonometricfunction)是一类能用角a的三角函数来表示角na(n为正整数)的三角函数的等式。

二倍角公式和半角公式
二倍角公式内容
常用的二倍角公式有以下几个：
二倍角公式证明
证明：
由三角函数和角公式可得：
又因为，所以：
同理：。
当时，有：
由此可计算出角的其他三角函数值。
降幂公式和半角公式
由公式立刻得到降幂公式：
令，代入公式可得：，
进而可得半角公式：
等式右边的正负号由所在的象限决定。
三倍角公式
利用和角公式和二倍角公式，可得：
当时，
由可得，。
这样，就得到了三倍角公式：
由此可计算出角的其他三角函数值。
由欧拉公式得到的倍角公式
既然已经得到了二倍角公式和三倍角公式，那么有没有倍角公式呢，答案是肯定的。
根据棣莫弗定理，（为正整数），由二项式定理可得：
所以有：
由复数相等的定义可得：
,
将两式代入即可得到正切的n倍角公式。
其他形式的倍角公式
将展开成的整系数多项式
由可知，可以展开成关于的多项式，那么如何找出各项系数呢，先来看一下几个等式：
经过观察可以发现，如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于的最高次项系数为1的、次数等于公式左边的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式。由此猜测也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明:
猜想：。
由上面列举出的等式知时猜想成立，
现假定，时猜想成立，下证当时猜想也成立。
因为，
，
所以，两式相加得：。
从而：
当为奇数时，
当为偶数时，
所以无论k是奇数还是偶数，都可以展开成为关于、次数等于公式左边的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式。
于是有。
其中，，由假设，，故，由此，猜想成立。
也得到了系数的三个递推公式：
，
此外，
由此可得，当时，；
当时，。
该结论可通过数学归纳法进行证明，计算量较大，这里不再赘述。
将结果代入中，得：
。
这就是n倍角余弦公式，它将展开成了关于的首一整系数多项式。
将和展开为行列式
n倍角公式还有非常漂亮的行列式形式：
利用数学归纳法即可证明上述等式。
除此以外，n倍角公式还有很多其他的形式，尽管公式形式千变万化，但是他们的目的都是为了简化运算。
倍角公式的历史
韦达是将代数变换引入三角学的第一位数学家，也是最早研究n倍角正、余弦一般公式的人，他将，表示为的函数，又将表示为和的函数。在获得这些结果后他自豪地惊叹说：“对角的等分的分析包含了迄今无人发现的几何和算术的秘密。”
1569年，德国数理天文学家、哥白尼的学生雷提卡斯获得公式：
1676年，英国大数学家牛顿在写给德国著名数学家莱布尼兹的一封信中记有如下公式：
(1),
当n为奇数时，右边的级数将终于某一项，即：
,
1698年，棣莫弗在伦敦《哲学学报》上发表题为《无限项方程求根的一个方法》的论文，文中也导出了牛顿的公式。9年后棣莫弗获得公式：,并推导出了棣莫弗定理。
1702年，瑞士大数学家雅各布·伯努利研究了和的一般公式，他通过不完全归纳法得到：
，
。
1748年，瑞士大数学家欧拉在其名著《无穷小分析引论》中利用棣莫弗定理也得到了上述公式，他还推出：
即：
, （2）
此外，欧拉还有如下两个多倍角正弦公式：
（3）
（4）
清同治12年（1873年），中国数学家华蘅芳与英国传教士博兰雅合译《代数术》一书，首次向国人介绍了公式（1）（2）（3）和（4）。
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