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倒数

数学学科术语

倒数（reciprocal / multiplicative inverse）是一个数学学科术语，拼音是dào shù。是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为1/x，过程为“乘法逆元”，除了0以外的数都存在倒数， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。

实数的倒数
1.求一个分数的倒数，例如 ， 这个分数的分子和分母交换位置，即得 的倒数为 ；
2.求一个整数的倒数，只须把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到。如12，即 ，再把 这个分数的分子和分母交换位置，把分子做分母，分母做分子，则有，即12的倒数是 ；
3.说明:倒数是本身的数是1和-1，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数；
4.把0.25化成分数，即 ，再把 这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子.则是 ，再把 化成整数，即4.所以0.25是4的倒数。也可以说4是0.25的倒数.也可以用1去除以这个数，例如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒数4；
5.求倒数的约分问题。在求倒数过程中，可约分的要约分，如，约分以后成，最后将其分子分母调换位置，得到，即为的倒数；
因此乘积是1的两个数互为倒数。
数论倒数
而在数论中，还有数论倒数的概念，如果两个数a和b，它们的乘积关于模m余1，那么它们称互为关于模m的数论倒数。比如 ，所以3是2关于5的数论倒数.数论倒数在中国剩余定理中非常重要。而辗转相除法提供了计算数论倒数的方法。
群论中倒数
近世代数中有群，域，环等概念，其中定义了抽象的乘法运算和单位元.同样的，关于其乘法如果有乘法逆，同样可以看成是倒数。
特点
倒数的特点：一个正实数（1除外）加上它的倒数 一定大于2。
一个负实数（-1除外）加上它的倒数一定小于-2。
求证：a，b均为非1正实数，且a不等于b，和互为倒数，。
证明1：因为，，所以，又因为a，b均为非1正实数，且a不等于b，所以，，所以，所以，即。
证明2：使用均值不等式
∵且
∴
∴
当且仅当即a=b时等号成立
∵a≠b
∴
解题
在四则混合运算中，有时会用到倒数来解题，正规解起来很麻烦。
例如：计算
第一种方法：
解：原式的倒数=
=
=
=
=.
所以，原式=.
第二种方法：
解：=
=
它的倒数为
= 因为此处0不可以作为除数，故用乘法代替。
=
=
所以，原式=.
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