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停时

具有某种与将来无关性质的随机时刻

停时((stopping time)一类随机时刻，指具有某种与将来无关性质的随机时刻。给定概率空间(Ω，F，P)及其滤子Ft，映射τ：Ω→T∪{∞}，如果对任意的t∈I，{ω：ω∈Ω，τ(ω)≤t}∈Ft，则称映射τ为一个(Ft)停时。

基本介绍
停止时间是一种特殊的随机变量，表示一个随机的时刻。例如，设为停时，那么这意味着两方面内容，第一，是随机的，第二，的取值范围是为已知，当结果出现时，可表示为
也就是说，该随机变量的结果是一个特定时刻。
现在考虑建立在债券上的美式期权，该期权可以在当前时刻t=0与到期日T之间的任何时刻执行，如果期权执行者认为时机已到，那么他将执行期权，否则他将选择等待直到到期。
所以，我们需要研究一个“随机日期”，它对于期权定价非常重要，实际上，提前执行的权力为美式期权增加了额外的价值。
我们设为期权的执行日期，很显然已知信息集，我们就可以知道该期权是否已经被执行，也就是说，已知，我们可以知道哪种情况成立：
该式表示期权已经被执行，或者
该式表示期权尚未被提前执行。
的这种性质可以用来定义停止时间。
定义1 停止时间是可测的非负随机变量，满足
1)已知，我们可以判断是否有
2)我们有
对于一般的衍生证券，期限都是有限的，因此期权要么在一个有限的时刻被执行，要么过期失效，这意味着第二个等式，即以1概率有限，将恒成立。
停时的基本性质
下面列出停时的基本性质。
定理 设均为停时，则有
(1)是停时；
(2)是停时；
(3)如果，则；
(4)是可测的。
首次进入某个集合或者首次达到的时刻是一个停时。事实上，设E是一个度量空间，X是关于滤子适应的、E为状态空间的随机过程，对于，定义
则就是一个停时。
停时的作用
在实际操作中，我们应该如何利用停时呢?
最明显的一个用途是用来代表期权的执行时间，对欧式期权而言，执行时间不含随机因素，期权只能在到期日被执行，因而我们有
而对于美式期权，一般是随机的。
考虑一份美式看涨期权，标的资产为，满足以下SDE：
其中漂移项和扩散项系数满足一般的规范性条件。
和过去一样，衍生证券的价格可以在等价鞅测度Q下表示，但此时多了一个复杂之处，证券持有者不一定要等到T时刻才执行期权，他可以在利润较高时提前执行。
也就是说，如果持有者必须等到到期日才能执行期权，那么该期权 t 时刻价值为
而如果他可以提前执行，那么价值为
其中是所有可能停止机会的集合，是的最优选择，这里代表期权持有者可能执行该看涨期权的日期。
因此在 t 时刻，我们可以计算出一系列，包含所有停止时间可能的取值，为了求出正确的价格，我们要求这些的上确界。
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