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先验分布

先验分布

先验分布（prior distribution）一译“验前分布”“事前分布”。是概率分布的一种。与“后验分布”相对。与试验结果无关，或与随机抽样无关，反映在进行统计试验之前根据其他有关参数θ的知识而得到的分布。

定义
参数空间上的任一概率分布 π 称为参数 θ 的一个先验分布。先验分步反映了人们对参数的经验认识。例如设总体X～F(x;θ)，θ∈Θ，其中F(x;θ)形式已知，参数θ未知，求θ的点估计问题。
描述
先验分布是总体分布参数θ的一个概率分布。
贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于θ的任何统计推断问题中，除了使用样本X所提供的信息外，还必须对θ规定一个先验分布，它是在进行推断时不可或缺的一个要素。贝叶斯学派把先验分布解释为在抽样前就有的关于θ的先验信息的概率表述，先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。
例如，某甲怀疑自己患有一种疾病A，在就诊时医生对他测了诸如体温、血压等指标，其结果构成样本X。引进参数θ：有病时，θ=1；无病时，θ=0。X的分布取决于θ是0还是1，因而知道了X有助于推断θ是否为1。
按传统（频率）学派的观点，医生诊断时，只使用X提供的信息；而按贝叶斯学派观点，则认为只有在规定了一个介于0与1之间的数p作为事件{θ=1}的先验概率时，才能对甲是否有病（即θ是否为1）进行推断。p这个数刻画了本问题的先验分布，且可解释为疾病A的发病率。
先验分布的规定对推断结果有影响，如在此例中，若疾病A的发病率很小，医生将倾向于只有在样本X显示出很强的证据时，才诊断甲有病。在这里先验分布的使用看来是合理的，但贝叶斯学派并不是基于“p是发病率”这样一个解释而使用它的，事实上即使对本病的发病率毫无所知，也必须规定这样一个p，否则问题就无法求解。
后验分布
当参数 θ 的先验分布已知时，称在给定样本 x 下 θ 定条件分布为参数 θ 的后验分布(posterior distribution)。
假定样本 x 的密度函数为，则θ 的后验分布为
其中
后验分布可看成是在获得样本 x 后对参数先验知识的调整。
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