光滑曲面

高等数学名词

光滑曲面（smooth surface），高等数学名词，给定曲面xi=fi(u,v)(i=1,2,3)，如果函数fi(u,v)是连续可微的，并且雅可比行列式∂(f1,f2)/∂(u,v)，∂(f2,f3)/∂(u,v)，∂(f3,f1)/∂(u,v)不同时为0，则这一曲面称为光滑曲面(smooth surface)。如果fi(u,v)是k次连续可微的，则这一曲面称为Ck类曲面。如果fi(u, v)是解析函数，则这一曲面称为解析曲面。.从几何直观上看，所谓曲面是光滑的，是指曲面在每点都有切平面，并且切平面的方向随着曲面上点的连续变动而连续变化，说曲面是分片光滑的，是指曲面是由有限个光滑曲面并起来的。比如球面是光滑曲面，长方体的边界面则是分片光滑曲面。

基本介绍

光滑曲面是指有连续变动的切平面的曲面，或者说有可以处处连续移动的单位法向量的曲面.若D是R2中有界的若尔当可测闭区域，向量值函数φ：D→R3是C1类的(这意味着φ在包含D的某个开集上是C1类的)，且对任意t∈D，D1φ(t)×D2φ(t)≠0(即雅可比矩阵Jφ(t)的秩是2)，这里D1，D2表示偏导数，则点集S=φ(D)称为R3中的光滑曲面。又若φ对D的内部的限制是单射，则S称为简单光滑曲面。当f连续可微时，凡是可以用形如z=f(x，y)表示的曲面S，都是简单光滑曲面。由于上述定义中涉及曲面的参数表示φ，因此可以发生这样的情况：一种表示满足定义，另一种表示不满足定义.但只要有一种表示满足定义，就说曲面是光滑的.在光滑曲面上，单位法向量函数(D1φ×D2φ)/|D1φ×D2φ|是连续的。设φ：D→R3与ψ：E→R3是曲面S的两个参数表示，若存在C1类双射g：E→D，使ψ=φ°g，则称φ与ψ是光滑等价的。若g还满足Jg>0，则称g保持定向，并称φ与ψ定向等价;若Jg<0，则称g反转定向，这里Jg是g的雅可比行列式.延伸至无限远的曲面，若任何有界的部分是光滑的，则曲面称为光滑的。

光滑曲面的面积

设S是一块空间光滑曲面——即具有连续变动的切平面的曲面。S在xy面上的投影是Dxy,dS是S上一小曲面块(同时表示这个小曲面块的面积),过dS上任一点M作法线n= {A,B,C},当dS很小时，可以认为它是一块以n为法线的平面(即S在点M处的切平面上的一块)。设n与k(z轴上的单位矢量)不垂直(故cos≠0)，则dS在xy平面上的投影为一面积元素 ,依投影定理,有

是n的一个方向余弦,故

从而

对应于S的不同表示,dS有不同的形式：

1.设S:z= z(x,y)∈C1(Dxy)，

则S光滑且可取 ,从而

同理,设S:x=x(y,z)∈C1(Dyz),则

设S:y= y(z,x)∈C1(Dzx),则

2.设S由参数方程

给出，它们都有对u,v的一阶连续偏导数,且

不全为零,这时S光滑(所说的光滑曲面,均指这样的曲面)，且可取n={A,B,C},又由二重积分的变量代换公式可知

代人(4)式可得

把整个曲面表示为许多这样的小曲面块之并,每个小曲面块的面积均用相应切平面块的面积代替,并把整块曲面的面积S认做这些小曲面块面积之和当各个小曲面块直径的最大值趋于零时的极限,利用微元素法的思想可得曲面面积计算法,即分别把(5)~(8)式代人公式