全连续算子

数学术语

设X、Y均为距离空间，T为X→Y的线性算子，如果T将X中的任一有界集映成Y中的列紧集，则T称为紧算子，连续的紧算子称作全连续算子。如果X、Y均为赋范线性空间，则T是紧算子与T是全连续算子是等价的。

简介

全连续算子是一类重要的有界算子，它最接近于有限维空间上的线性算子。设X，Y是赋范线性空间，T是X到Y的连续算子。如果T把定义域中任何有界集映射成Y中的列紧集，则称A是全连续算子，或紧算子。紧算子概念是希尔伯特(Hilbert，D.)于1906年引入的，1917年里斯(Riesz，F.)对紧算子进行了系统的研究，1930年绍德尔(Schauder，J.P.)进一步证明了紧算子的更多性质。

定义

设X、Y均为赋范线性空间，T为X→Y的线性算子，如果T将X中的任一有界集映成Y中的列紧集，则T称为全连续算子，或紧算子。

注：1）距离空间上的全连续算子的定义为：设X、Y均为距离空间，T为X→Y的线性算子，如果T将X中的任一有界集映成Y中的列紧集，则T称为紧算子，连续的紧算子称作全连续算子。

显然，如果X、Y均为赋范线性空间，T为X→Y的线性算子，那么T是紧算子与T是全连续算子是等价的。

2）设X、Y均为赋范线性空间，A为X→Y的紧算子的充要条件是对X中任何有界集，AM的闭包是Y中的紧集；这又等价于对X中任何有界点列{xn}，{Axn}有在Y中收敛的子列。

性质

设X、Y均为赋范线性空间，A为X→Y的紧算子，则A具有以下性质：

1)算子T为紧算子当且仅当T将X中的闭球B(θ，1)={x： ‖x‖≤1}映成Y中的列紧集；

2)紧算子必定是连续的；

3)设T1、T2为X→Y的紧算子，α、β∈C，则αT1+βT2为X→Y的紧算子；

4)设X、Y、Z为赋范线性空间，T1∈L(X，Y)，T2∈L(Y，Z)，如果T1，T2中至少有一个为紧算子，则T2T1为X→Z的紧算子。

5)设X为赋范线性空间，Y为巴拿赫空间，而且，则T也是紧算子；

6)设T∈L(X，Y)，T为紧算子，则T的值域是可分的；

7)设T∈L(X，Y)，T为紧算子，则T*为Y*→X*的紧算子；

8)设T∈L(X，Y)，如果T为紧算子，则T将X中的弱收敛点列映成Y中的强收敛点列；

9)设X为赋范线性空间，Y为巴拿赫空间，则X→Y的紧算子的全体按通常算子的线性运算按算子范数构成了L(X，Y)的闭子空间，因此它本身也是一个巴拿赫空间。

线性积分算子的全连续性

全连续性是线性积分算子特有的基本性质。设k(x，y)是G×G上的平方可积函数，则以k(x，y)为核的线性积分算子是映L2(G)入L2(G)的全连续线性算子。类似地，若k(x，y)在G×G上连续，则以k(x，y)为核的线性积分算子是映C(G)入C(G)的全连续算子.线性积分算子所具有的全连续性，使得线性积分算子可以作为全连续线性算子的一种特例而加以研究。人们可以首先用泛函分析的方法研究全连续线性算子，然后作为应用的特例，导出线性积分算子的基本性质。

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