公垂线

几何术语

一条直线同时垂直于两条或两条以上线段或直线，这条直线就是被垂直的线段或直线的公垂线。然而，如同两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，这才被叫做公垂线段。

概念

例如线段a垂直于线段b，同时也垂直于线c，甚至更多的d、e、f……那么线段a就是线b、c的或者是d、e、f的公垂线。

引申含义

两条直线不在公垂线上经过同一点，这两条直线必不交叉。

两条直线经过公垂线上的同一点，这两条直线所在的平面，必定垂直于公垂线，并且这个平面必垂直于他们和公垂线组成的平面。

公垂线可以和被垂直的线段或者直线在一个平面内，也可以不在一个平面内。公垂线可以和被垂直对象交叉，也可以不交叉。

如图1所示，AB都是CD和EF的公垂线。

异面直线的公垂线

定义

同时和两条异面直线垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线。两个交点之间的线段长度，叫做异面直线的距离。

定理

任意两条异面直线有且只有一条公垂线，证明：

（1）存在性

设m、n是两条异面直线，过m上一点P作直线a∥n，则m和a确定一个平面α。

过P作直线b⊥α，则b⊥m，b⊥a，b⊥n，且b和m确定一个平面β。

∵m、n异面

∴n不在β内

且n不会与β平行，这是因为如果n∥β，则a∥β或a⊂β

∵P∈β，P∈a

∴a与β不平行

若a⊂β，∵b⊥m，b⊥a，m∩a=P

∴a和m重合，即m∥n，矛盾

∴n与β不平行，即n和β相交

设这个交点为Q，即Q∈β，过Q作直线l⊥m，则l∥b

∴l⊥n，即l同时垂直m、n，且l和m、n交点分别为P、Q

（2）唯一性

由存在性的证明可知n和β只有一个交点Q，经过Q点有且只有一条直线l⊥m，因此异面直线的公垂线有且只有一条。

基于公垂线约束的立体视觉建模方法

基于人类视觉系统理论的双目立体视觉，运用两台相机对同一景物从不同位置成像，获得景物的立体图像对，通过各种算法匹配出相应像点，从而利用视差恢复深度信息。由于具有成本低、分辨率高、无破坏和数据获取速度快等优点，立体视觉被公认为最有前途的三维坐标测量方法。

立体视觉测量根据视差原理完成空间三维点坐标测量，是典型的空间交会问题。理想情况下，如图2所示，通过光学中心点Ot和Or的两相机所成的图像点mt和mr，其反投射线应当相交于一点(空间特征点)M。这5点都位于2条相交线OtM和OrM形成的外极平面上。特别地，点mr位于该平面与第二台相机的视平面的交线lr上。直线lr是与点mr相关的外极线，它经过点er。er是连接两个光学中心Ot和Or的基线和平面的交点。同样，点mt位于点mt关联的直线ll上，且该直线经过基线和平面的交点et。但是由于相机的内参数、图像点的定位以及两相机之间的相互空间姿态的确定等各种误差的存在，射线Olml和Ormr不能在三维空间中精确相交或严格交于一点，因此，立体视觉测量中空间点坐标的求解问题就变成了最小化问题。

为了获得两相机参数已知的三维重建空间点坐标的最优解，常用的方法主要有：1)线性三角建模方法，该方法是与DLT方法相似的一种常用的方法，算法简单，而且计算速度快，但它是一种纯代数的重建三维空间点算法，没有任何几何意义；2)中点法，该方法直接选取两条反投射线的公垂线段中点作为空间点坐标，它虽然使得空间点到两条反投射线的距离的平方和最短，但它并未考虑其它因素的影响，Hartley和Beardsley均证明该方法的重建精度在多数情况下不如线性三角法精度高；3)基于对极约束的建模方法，它以满足对极约束为条件，求两像点附近与实际像点的距离平方和最短的点作为两像点的估计值，然后再由其它任何三角法求得空间点。该方法能很好地克服噪声的影响，但它运算时间长，效率低，由于它只考虑了图像点的误差，没有考虑空间的距离误差，所以在欧氏重建中，它的重建精度低于上述两种方法。

在综合考虑空间距离误差以及图像点误差的基础上，提出了基于公垂线约束的立体视觉建模方法，该方法不仅保证了所求空间点到两条反投射线之间的距离最短，而且还消除了图像点误差以及空间点距两相机位置不同而造成的影响，使得所求的空间点在两像平面上的投影误差最小。

基于公垂线约束的立体视觉建模

该建模方法首先以空间点到两条反投射线的距离最小为目标函数，确定公垂线约束;然后通过最小化空间点在两像平面上的投影误差求得空间点的最优解。

（1）公垂线约束的确定

为了最小化重建空间点的空间距离误差，必须使得空间点坐标到两图像点对应的反投射线的距离最短。根据异面直线的距离定理:两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条，因此所求空间点必须在两条反投影射线的公垂线段上，如图3所示。

（2）空间点的最优估计

两条反投射线的公垂线段上的所有点均满足到两条反投射线的距离最短的条件，但由于空间点距两相机位置的不同，公垂线上不同的空间点在两像平面的投影与实际像点的误差不同，为了减小图像点误差以及空间点距两相机位置不同而造成的影响，本文提出了基于公垂线约束的投影误差最小化建模方法，该方法的以空间点在射线Olml和Ormr的公垂线段上为约束，以图像点观测值与估计值之间的误差作为最小化目标函数获得空间点的最优解。

实验数据分析

综合仿真以及实际数据的对比实验，由表1和表2，可以得出如下结论：1)4种方法的三维重建误差均随着图像噪声水平的增加而变大，所以在立体视觉测量系统中，应该尽量减小图像误差的影响；2)基于外极线约束法的重构误差最大，因为该方法的最小化目标是图像点测量值与实际值之间的误差，没有考虑空间距离误差的影响，所以该方法得到的空间点坐标误差相对来讲较大；3)中点法是以空间点坐标到对应射线的距离平方和作为目标函数，虽然它保证了空间点到两条反投射线的距离平方和最小，但是由于它没有考虑图像点误差对空间点重构精度的影响，所以中点法的重建精度比线性三解法的低；4)基于公垂线约束法由于同时考虑空间距离误差以及图像点噪声误差的影响，所以无论是在仿真数据中，还是实际量块的测量中，它的三维重建精度都要高于其它三种常用的重建算法，并且在图像误差为0.04个像素的范围内，基于该重建算法的立体视觉测量系统的测量精度能达到0.023mm。

研究结论

从实验结果来看，研发方法的三维重建误差要低于其它几种重建算法。同时由于采用公垂线段中点作为以空间点在两像平面上的投影误差为最小化目标函数的非线性迭代的初始值，所以该方法能够快速、有效地收敛到空间点的最优解。因此，研究方法在综合考虑空间距离误差以及图像点误差的基础上，提高了空间点的重建精度。

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