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关系

数学中关系

关系常指二元关系，数学的基本概念之一，关系是在集合的基础上定义的一个重要的概念，与集合的概念一样，关系的概念在计算机科学中也是最基本的。它主要反映元素之间的联系和性质，在计算机科学中有重要的意义，如有限自动机和形式语言、编译程序设计、信息检索、数据结构以及算法分析和程序设计的描述中经常出现。

基本概念
定义
给定任意集合A和B，若，则称R为从A到B的二元关系，特别在A=B时，称R为A上的二元关系．可见，R是有序对的集合．若，则也表示为，即
若，则称R为A到B上空关系；若R=A×B，称R为A到B上全域关系．特别当A=B时，称为A上空关系，称R=AXA为A上的全域关系．称为A上的恒等关系，记为．
定义域、值域和域
令，且
则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R的定义域、值域和域。
显然。
关系是有序对的集合，对它可进行集合运算，其结果也是有序对的集合，即也是某一种二元关系。令R和S是两个二元关系，则和R'都分别定义了某一种二元关系，并且可表示成：
关系矩阵与关系图
表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时，矩阵和有向图都是得力的工具。
定义 给集合和，且．若则称矩阵为R的关系矩阵。
当给定关系R，可求出关系矩阵；反之，若给出关系矩阵，也能求出关系R。
集合A上的二元关系R也可用有向图表示．具体方法是：用小圆圈表示A中的元素，小圆圈称为图的结点，把对应于元素和的结点分别标记和若，则用弧线段或直线段把和连接起来，并在弧线或直线上设置一箭头，使之由指向；若，则在结点上画一条带箭头的自封闭曲线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环，这样得到的有向图叫做关系R的图示，简称关系图，记为。
关系的性质
关系的性质是指集合中二元关系的性质，这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性质。并给出它的关系矩阵和关系图的特点。
自反 令，若对A中每个x，都有，则称R是自反的，即A上关系R是自反的。
在全集U中所有子集的集合中，包含关系是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包含关系不是自反的，整数集合Z中，关系≤是自反的，而关系<不是自反的。
反自反 令，若对于A中每个x，有，则称R是反自反的，即A上关系R是反自反的。
该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任何相同元素的有序对，由定义说明中可知真包含关系是反自反的，但包含关系不是反自反的；小于关系<是反自反的，而≤不是反自反的。
应该指出，任何一个不是自反的关系，未必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的关系，未必是自反的，这就是说，存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。
对称 令，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称R是对称的，即A上关系R是对称的。
该定义表明了，在表示对称的关系R的有序对集合中，若有有序对，则必定还会有有序对。
在全集U的所有子集的集合中，相等关系是对称的，包含关系和真包含关系都不是对称的；在整数集合Z中，相等关系=是对称的，而关系≤和<都不是对称的。
反对称 令，对于A中每个x和y，若xRy且yRx，则x=y，称R是反对称的，即A上关系R是反对称的。
该定义表明了，在表示反对称关系R的有序对集合中，若存在有序对和，则必定是x=y，或者说，在R中若有有序对，则除非x=y，否则必定不会出现。
在全集U的所有子集的集合中，相等关系=，包含关系和真包含关系都是反对称的，但全域关系不是反对称的．在整数集合Z中，=，≤和<也都是反对称的。
可见，有些关系既是对称的，又是反对称的，如相等关系；有些关系是对称的，但不是反对称的，如Z中的“绝对值相等”；有些关系是反对称的，但不是对称的，如Z中的≤和<；还有的关系既不是对称的，又不是反对称的，例如，A={a，c，b}中．
传递 令，对于A中每个x，y，z，若xRy且yRz，则xRz，称R是传递的，即A上关系R是传递的
该定义表明了，在表示可传递关系R的有序对集合中，若有有序对和，则必有有序对。
显然，上述提到的关系中，，=和≤，<，=都是传递的，在直线的集合中，平行关系是传递的，但垂直关系不是传递的。
通过上面几个实例，看出：
①若A上关系R是自反的，则中主对角线上元素全为1，而中每个结点有有向环；反之亦然；
②若A上关系R是反自反的，则中主对角线上元素全为0，而中每个结点无有向环；反之亦然；
③若A上关系R是对称的，则是对称矩阵，而中任何两结点若有弧，弧必成对出现；反之亦然；
④若A上关系R是反对称的，则中主对角线元素不能同时为1，而中若两结点间有弧，弧不能成对出现；反之亦然；
⑤若A上关系R是传递的，则中若，则，而中若有弧和，则必有弧；反之亦然。
此外，还有：
①任何集合上的相等关系=是自反的，对称的、反对称的和传递的，但不是反自反的。
②整数集合Z中，关系≤是自反的、反对称的和传递的，但不是反自反的和对称的，关系<是反自反的、反对称的和传递的，但不是自反的和对称的。
③非空集合上的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的，空集合上的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。
④非空集合上的全域关系是自反的、对称的和传递的，但不是反自反的和反对称的。
定理 设，若R是反自反的和传递的，则R是反对称的。
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