准动量守恒

物理学定律

在晶体x射线衍射过程中，有两种不同的模型，分别衍生出劳埃定理和布拉格定理。其中劳埃定理将每一个被x射线照射的格点作为次级发射源，次级光互相干涉，所以得到的衍射面为一系列同轴圆锥。布拉格定理认为入射光在一系列晶面上发生反射，同族晶面的反射光互相干涉。由布拉格定理和倒格矢的定义可以得到在衍射过程中的动量关系。

布拉格定律

布拉格定律是晶体衍射的基本定律，如《布拉格定律示意图》所示。发生干涉的条件是光程差为波长的整数倍。令BCD= ，

所以由几何关系可得：

这就是布拉格定律。

公示

为了晶体学，尤其是晶体衍射的研究的方便，物理学上引入了在倒空间，或者说是动量空间的矢量，称为倒格矢。

考虑一个密勒指数为(h k l)的面，三个基矢分别是a,b,c。根据密勒指数的定义，则这个晶面在三个坐标轴上的截距分别是a/h,b/k,c/l。设晶面的两条边分别是和 ,其中下划线表示矢量，则这个晶面的法线就是这两个矢量的外积， x 。

由于我们只是想要求得法线，所以括号前的系数可以不失一般性地略去。

注意到两个基矢的叉乘实际上是晶胞的一个底面。可以同时除以晶胞体积进行归一化，得到的是晶面间距的倒数。

由此得到晶面法线矢量：

等号右边即为倒格矢。由表达式可以看出，本质上倒格矢是将实空间中的晶面转换为倒空间中的格点。

如果用倒格矢基矢的形式表达，即为：

至此，倒空间与实空间有了一致的形式。

关系推理

为了后续讨论的方便，不妨把倒格矢基矢和倒格矢同乘。s.t.

参考概述中的示意图，考虑x射线的波矢。

根据几何关系可以推得：

在化简过程中使用了布拉格定律以及倒格矢和面间距的关系：（可由几何关系得到）

由此可以看出，x射线衍射过程中波矢的改变即为倒格矢。再利用由德布罗意关系推出的（其中h为约化普朗克常量），就可以得到衍射过程中的动量守恒表达式：

讨论

如果考虑声子的动量，得到更一般的表达式，即准动量守恒表达式：

称为声子的准动量。

一般说来，声子的准动量并不代表真实的动量，只是它的作用类似于动量，如上式所示，在中子吸收和发射声子过程中，存在类似于动量守恒的变换规律，但是，多出±hGn项。动量守恒是空间均匀性（或者称为完全的平移不变性）的结果，而上述准动量守恒关系实际上是晶格周期性（或者称为晶格平移不变性）的反映。一方面，由于晶格也具有一定的平移对称性（以布拉伐格子标志），因而存在与动量守恒相类似的变换规律；另一方面，由于晶体平移对称性与完全的平移对称性相比，对称性降低了，因而变换规则与动量守恒相比，条件变弱了，可以相差±hGn。

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