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几何不等式

数学概念

几何问题中出现的不等式称为几何不等式。常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等。在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理。证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。

证明方法
证明几何不等式的方法大致有三种：几何方法，代数方法，三角方法。
几何方法：通过一些变化或者平移旋转来证明。
代数方法：也就是方程。
三角方法（函数法）：利用三角函数来证明。
类型
Ptolemy（托勒密）不等式
若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。等号成立ÛA,B,C,D四点共圆
证明：
在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
因为△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”
所以命题得证
Erdos（埃尔多斯）不等式
设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则
x+y+z≥2*(p+q+r)
证明：
设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则
x+y+z≥2*(p+q+r)
证法二 因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。
在ΔPEF中，据余弦定理得:
EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，
所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即
PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。
同理可得:
PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)，
PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。
(1)+(2)+(3)得:
x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命题成立。
Weitzenberk（外森比克）不等式
若a,b,c为三角形三边长，S是三角形面积,
则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S
等号成立当且仅当ABC为等边三角形。
定理证明如下： 由海伦公式，三角形面积可表示为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
则：4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
由于三角形任意两边之和大于第三边，所以根号里各项都是正数，
由均值不等式可得：
4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}
=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)
=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(ca)^2]/(3√3)
≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
即：4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
整理得
a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 证毕。
当且仅当a=b且c=π/3即三角形ABC为正三角形时取等。
Euler（欧拉）不等式
设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号。
证明：
由欧拉定理，d=sqrt(R(R-2r)),又d＞0,
所以R-2r≥0,即R≥2r.
当且仅当d=0即内心与外心重合时取等。
此时三角形ABC为正三角形。
Fermat（费马）问题
在△ABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的P点称为费马点。当每个内角均小于120时，则与三边张角为120的P点为费马点。
等周定理（等周不等式）
①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。
②周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。
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