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凸多面角

多面角

凸多面角(convex polyhedral angle)一种多面角，把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体。

基本概念
多面角(polyhedral angle)又称“立体角”，过平面外一点O向平面内的简单多边形的顶点引射线，所有相邻射线所夹的平面部分围成的立体图形，称为多面角。点O称为多面角的“顶点”，射线称为“棱”，相邻两棱所夹的角称为“面角”，相邻两棱所夹的平面部分称为“侧面”，多面角按照它的侧面数目分别称为三面角、四面角等等。如果所给的多边形是凸的，则相应多面角称为凸多面角；否则称为凹多面角。凸多面角的面角和小于四个直角，多面角每相邻两个面间的二面角称为多面角的二面角，凸多面角各二面角之和大于( )直角，而小于 直角( 表示棱数)。
两个多面角的各面角对应相等，并且各二面角也对应相等，则称这两个多面角为全等多面角，各面角相等，并且各二面角也相等的凸多面角称为正多面角。
性质定理
定理1
凸n面角各面角的平面角之和小于360°。
定理2
凸n面角各二面角的平面角之和大于 且小于 。
证明 如图2，设 是凸n面角，在其内部作一射线OP，则把凸n面角 分割成n个三面角 ，设凸n面角 的二面角的平面角之和是S，由相关定理得
而凸n面角的每个二面角的平面角都小于，所以
由此得
定理3
凸多面角的其中一个面角小于其余面角的和。
证明 设这个凸多面角是，则
所以
其余角的情况同理可证。
定理4
n(n是整数，n≥3)个角满足这些角的和小于360°且任意一角小于其他角的和，则以这些角为面角能构成凸n面角的面角。
推论1
给定凸n(n是整数，n≥4)面角的各个面角，则满足条件的凸n面角有无数种。
由定理3及定理4立即得定理5。
定理5
n(n是整数，n≥3)个角能构成凸n面角的面角的充要条件是这些角的和小于360°且任意一角小于其他角的和。
定理6
从正多面角的各棱截取n个点，使其满足
那么点共面，并且多边形是正n边形；
并且正n边形的中心与点O的连线垂直于平面。
定理7
如果两个正多面角的棱数和面角都相等，那么这两个正多面角全等。
例题解析
正n面角的面角等于，二面角等于，求与的关系。
解：如图3，从正多面角的各棱截取n点，使，则
所以
由于
所以
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