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凸锥

凸锥

一类特殊的凸集被称之为凸锥，它有极其重要的性质和应用。既是锥又是凸集的点集称之为凸锥。常见的凸锥包括：二维平面中的半射线、整个n维欧式空间等。凸锥中有一个重要的定理，凸锥分离定理。

基础知识
凸集
设为中的点集，当，对任意的，点，即连接的整个线段上的点都属于，则称为凸集。
锥
设是中的点集，当，对任意的，点，即由原点出发过的半射线上的点都属于，则称K为锥。
定义
设是中的点集，若点集既是锥又是凸集时，即当时，对任意不同时为零的，点，则称为凸锥。
性质
简单性质
（1）中的半射线是锥且是真凸锥。
（2）中的集是锥并且是真凸锥。
凸集分离定理
设是中的两个凸锥，且，即两个凸锥无公共点，那么存在一个超平面，将把分离，即存在一个矢量使得下面的不等式成立：
典例
例1
整个空间是凸锥。
例2
设和是p+q个已知的n维向量，则满足条件
的n维向量h的全体X组成一个凸锥。
证明：对任意和任意两个不同时为零的实数，有：
因此，，为凸锥。
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