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函数列

数学术语

函数列(sequence of functions)指各项为具有相同定义域的函数的序列。若{fn}为函数列，其中每个函数fn的定义域为A，则A也称为{fn}的定义域，若对某个x0∈A，数列{fn(x0)}收敛，则x0称为{fn}的收敛点，或称{fn}在点x0收敛，{fn}的所有收敛点的集合称为它的收敛域。若对每个x∈D，有当n→∞时，fn(x)→f(x)，则函数f(x)称为函数列{fn}(或{fn(x)})在D上的极限函数，这时也说，函数列{fn}在D上处处收敛于f，或在D上逐点收敛于f。对一般的函数列来说，除研究它的逐点收敛(或称点态收敛)这种收敛方式外，还要研究一致收敛，这是为了研究极限函数是否继承相应函数列的各项(函数)所具有的分析性质(连续、可微、可积等)而引入的一种收敛方式。

基本概念
设
是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。也可简记为
或
收敛性
设 ，将x0代入函数列(1)得到数列：
若数列(2)收敛，则称函数列(1)在点x0收敛，x0称为函数列(1)的收敛点。若数列(2)发散，则称函数列(1)在点x0发散，若函数列(1)在数集 上每一点都收敛，则称函数列（1）在数集D上收敛，函数列{fn}全体收敛点的集合，称为函数列{fn}的收敛域。
极限函数
若函数列(1)在数集D上收敛，这时 ，都有数列{ }的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D上的一个函数，称它为函数列{fn}的极限函数，记作 ，于是有
或
函数列极限的ε-N定义：对每一个固定的 ，对 （注意：一般说来N值的确定与ε和x的值都有关），使得当n>N时，总有
一致收敛性
函数列一致收敛性的定义
设{fn}与f定义在数集D上，若 ，当n>N时， ，都有
则称函数列{fn}在D上一致收敛于f，记作
函数列一致收敛性的判别
(1)柯西准则：{fn}在D上一致收敛 ，当n，m>N时， ，都有
(2)余项准则：
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