函数思想

数学术语

函数思想（英文Theory and thought of function），是解决“数学型”问题中的一种思维策略。自人们运用函数以来，经过长期的研究和摸索，科学界普遍有了一种意识，那就是函数思想，在运用这种思维策略去解决问题时，科学家们发现它们都有着共同的属性，那就是定量和变量之间的联系。

基本概念

函数思想作为“和”的思想理论体系下的三大理论思想之一，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。

函数思想体现了：在解决“数学型”问题中的一种思维策略。

函数思想应体现在三个方面：其一是分析探究，通过科学的方法，掌握自然中或生活中某些变量之间的科学关系，并科学分析其特征，掌握这种存在的对应关系和实际意义。其二是控制，通过某种确定的科学对应关系，以控制可控的变量实现控制不可控的变量（如电磁继电器、控制车速来控制到达时间等）。其三是优化，通过优化对应关系来优化控制过程。

具体来说，函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数（即“规定思想”）从而利用函数的性质（已知+未知+规定思想）解题。经常利用的性质是：f(x)、x的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

性质

在经过归纳总结后，科学家们用简洁的一个公式描述了它的性质：“已知+未知+规定思想”。“已知”，就是指“定量”；而“未知”则是指“变量”；至于“规定思想”则是，人们根据事物的规律，人为的构造的一种客观函数关系去解决问题的一种策略（人为的因素造就一个自我的空间——规定思想）。

宗旨

以无限为有限。

在人类长期运用函数思想去解决问题的发展过程中，人们不断注意到用函数解决问题后都有一个共同特点，或说是一种共同的“指向” ，那便是，它们总是用短小而有限的公式长度去描述一个有着无限数据的事物（变量可以无限的更换，公式就会有无数的值）。

伟大领袖毛泽东曾说过：“世间的万事万物都是本同一类的。”改变世界武术史的伟大的哲学家、武术家、功夫巨擘李小龙也曾这样描述武术的最高境界：以无法为有法，以无限为有限。

在我读高中时，一道复杂的数学题使我研究了三天才将其原始答案更加简洁化，那道题中所描绘的是一个立体图形，但它却由一个函数公式表示，并且里面有两个变量，并非一般的题型。研究后我发现要想画出其图形必须先定义其中一个变量，待画出其规律图形后，再使它变回变量然后去定义另一个变量，并画其规律图形。结果我发现它是一个DNA双螺旋结构图形。为此，我提出了一个大胆的想法：世间的万事万物都可以用一个函数公式表达，但要赋予其变量一定的范围（如果不规定范围，那么这个事物将会无限的大下去）。倘若有一款神一样的软件，那么只要把一块儿不规则的石头的函数公式输入其中，那么软件便会自动画出其三维图形，同时如果不规定其变量的范围，那么这块石头将无法画出来，因为它变成了无边无际的。现代科技中，有一些软件具有类似功能，但还达不到我想象的这么神奇。比如3Dmax、maya等。

数学型问题

所谓“数学型”问题，就是指那些富有数学灵魂的问题。形象地讲，譬如化学方程式的配平、有关物理匀变速的计算、管理学的运用等等，它们都是数学类型的问题。客观的讲宇宙间的各种规律变化都离不开“函数思想”。

函数思想渗透于各个领域。用函数思想去思考、解决问题，将会大大压缩、优化问题的复杂性。在函数思想的传授和教导中，有着一句俗语：复杂问题简单化！

形象展现

等差数列和匀变速运动

经典例题1：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中，汽车的行驶路程S看作时间t的函数，其图像可能是（）

解：本题考查的是“一阶导数的物理意义”。

下面我们将以：“等差数列”和“物理匀加速”→函数→导数的思路来解剖此题，解答此题，并从此基础上总结出一种简便的解题“因子”。

第1步、

等差数列：

通项公式:a[n]=a[1]+(n-1)d

前n项和公式:S[n]=(a[1]+a[n])n/2=na[1]+1/2·n(n-1)d

物理匀加速：

末速度:v[t]=v[0]+at

位移:s=1/2·(v[0]+v[t])t=tv[0]+1/2·at^2

第2步、将“等差数列”和“物理匀加速”进行简化，变成函数式。

等差数列：

通项公式:a[n]=dn+b（其中，d为公差，b=a[1]-d）

前n项和公式:S[n]=An^2+Bn（其中，A=d/2,B=a[1]-d/2）

【即公式中“b、A、B”都是定量，而n是变量（注意：[]符号里面的字符为定量右下角的标签），显而易见：a[n]为“一元一次函数”；S[n]为“一元二次函数”】

物理匀加速：（同理）

末速度:v[t]=at+v[0]（加速度a和初速度v[0]为定量）

位移:s=a/2·t^2+v[0]t

综合第1、2步克的结论：“物理匀加速公式”属于“等差数列”。

【备注】：由公式可看出

1、{a[n]}是一条直线，必过(1,a[1])点，且斜率k=d（公差）；

2、{S[n]}是二次方程（Quadratic Equation）图像，必过(0,0)点和(1,a[1])点；

3、S[n]的导数(S[n])`与相应的{a[n]}直线的斜率相等，且a[n]的图像等于(S[n])`切线向下移动d/2个单位

第三步、导数：

因为，位移s公式是一元二次函数

所以， s的“一阶导数”s`=(a/2·t^2+v[0]t)`=at+v[0]=v[t]；

s的“二阶导数”s``=v`[t]=(at+v[0])`=a.

所以，s的“一阶导数”表示“速度”，“二阶导数”表示“加速度”。

因此，本题考点技巧为：

即A→B斜率k↓，推理出v↓，所以为“减速运动”；

即A→B斜率k↑，推理出v↑，所以为“加速运动”；

即A→B斜率k不变，推理出v不变，所以为“匀速运动”。

所以，只要把以上“三步”压缩成一个模版，变成一种“知识因子”存入大脑，那么解答此题时，耗时将不会超过一秒。

拓展思维等比数列

通项公式：a[n]=a[1]q^(n-1)=cq^n【c=a[1]/q】

前n项和公式：S[n]=a[1](1-q^n)/(1-q)【q≠1】

总结：

1、{a[n]}为“指数函数”，且图像必过（0,a[1]/q）点和(1,a[1])点；

2、单调性：

{a[n]}为增函数，互推a[1]＞0,q＞1或a[1]＜0,0＜q＜1；

{a[n]}为减函数，互推a[1]＜0,q＞1或a[1]＞0,0＜q＜1；

{a[n]}为常函数，互推q=1；

{a[n]}为摆动数列，互推q＜0.

化学方程式配平

经典例题2： a.离子方程式

脱氮是污水处理的重要内容之一。脱氮反应之一是“生物硝化过程”，其反应如下：

_NH4″+_O2→_NO3′+H″+_H2O【″为正离子，′为负离子】

解：Ⅰ、分别设NH4″、O2为x、y，则由物量守恒得：

x NH4″+ y O2→ x NO3′+ (10x-4y) H″+ (2y-3x) H2O

Ⅱ、由电荷守恒得：

x=(-x)+(10x-4y)=9x-4y → 2x=y

取最小倍数即得：x=1,y=2

b.分子方程式

Cu2S与一定浓度的HNO3反应，生成Cu(NO3)2、CuSO4、NO2、NO和H2O，当NO2和NO的物质的量之比为1:1时，实际参加反应的Cu2S与HNO3的物质的量之比为（）

A.1:7； B.1:9； C.1:5； D.2:9

解：列出题中所述反应方程式，并设Cu2S、HNO3分别为x、y，n(NO2):n(NO)=p:p

则，x Cu2S + y HNO3= x Cu(NO3)2+ x CuSO4+ p NO2+ p NO + y/2 H2O

得物量守恒：

N守恒：y=2x+2p

O守恒：3y=6x+4x+3p+y/2

合并两式，同时消去p得：x/y=1/7.所以，选A.

用函数思想去解决化学方程式配平的问题，将会更精准、迅速，且易学。

爱因斯坦的相对论

时间、长度、质量的关系计算Δt、l、m时，“(1-(v/c)2)½”做为一个函数因子代入，即设(1-(v/c)2)½”=μ。

则Δt=Δt`/μ、l=l`μ、 m=m1/Δt（其中，Δt、Δt`分别为静止时的时间变化、相对运动时的时间变化；l、l`分别为静止者看到的运动物长度、相对静止时物体的长度；m、m1分别为运动物的质量、物体相对静止时的质量）

这里巧妙、灵活的运用了函数思想，引入了“函数因子”这一概念，使其形成了一种函数模版。这使得一些复杂的式子得以明了、清晰化。

经典的运用

经典例题3：这里主要是巩固“经典例题1”中所学到的知识，以进一步加强对函数思想的理解。

“神舟”六号飞船完成了预定空间科学和技术试验任务后，返回舱于2005年10月17日4时11分开始从太空向地球表面按预定轨道返回，在离地10km的高度打开阻力降落伞减速下降，这一过程中若返回舱所受阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，设返回舱总质量M=3000kg，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落。从某时刻开始计时，返回舱的运动v=t图像如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B，坐标为(8,0)，CD是平行横轴的直线，交纵轴于C点，坐标为(0,8)。g取10m/s2，请解决下列问题：

〈1〉在初始时刻v1=160m/s时，它的加速度多大？

〈2〉推证空气阻力系数k的表达式并算出其数值。

〈3〉返回舱在距离高度h=1m时，飞船底部的4个反推力小火箭点火工作，使其速度由8m/s迅速减至1m/s后落在地面上，若忽略燃料质量的减少对返回舱总质量的影响，并忽略此阶段速度变化而引起空气阻力的变化，试估算每支小火箭的平均推力（计算结果取两位有效数字）。

函数思想无处不用

为了使读者放开思维去彻底的了解函数思想，以下我们将举一个生活中最常见的例子，来说明函数思想运用的广泛性，同时也要让大家感受到和明白函数思想无处不被用到。

很多腾讯用户和银行客户在设置QQ密码和账号密码时遇到同样的难题。这样的现象尤为体现在拥有多个账号的客户。就拿QQ用户来说吧，假设一个boy有五个或是更多的QQ账号，在他设置密码时，为了提高安全性，他不想设置成一样的密码，这个问题该怎么解决呢？

这里，如果你拥有了“和”的思想，在思想上有了很高的觉悟，做事有策略性、写文章有明确的条理性，是一个会看书的人，那么你就可以利用函数思想轻松的解决这个问题了。

1、首先，你要自己确立个（或构造个）函数密码公式。如“521zuguoandX”(寓意：我爱你，祖国，还有X)，在这里，“521zuguoand”是定量，“X”是变量，你构造这个函数的过程是一个“规定”的过程（即你首先要有这种主动去“构造”、去“规定”的意识，这是一种“规定思想”）。

2、然后你就可以运用了，譬如：你的第一个账号密码是“521zuguoandmama（我爱你，祖国我的妈妈）”；第二个账号密码则可以改为“521zuguoanddahai（我爱你，祖国我的）”……也就是说，你可以在自己构造的函数公式里任意定向改变变量，是其对应一个或多个账号。

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