函数模型

数学术语

函数模型分为一元函数模型和多元函数模型，其中一元函数模型最为常见。函数模型的计算机拟合方法包括两种：“Origin软件法”和“C语言程序法”。Origin软件法适用于一元函数模型的拟合，C语言程序法适用于一元函数模型和多元函数模型的拟合，这两种方法各有利弊。

概念介绍

函数模型的数学表达式是，其中：，代表函数模型中所含有的p个自变量；，代表函数模型中所含有的q个待定参数；y为因变量。当p=1时，函数模型被称为“一元函数模型”；当p≥2时，函数模型被称为“多元函数模型”。一元函数模型是函数方程式中只含有一个自变量的函数模型，其数学表达式可以写成——其中x为自变量，其函数图像通常是一条二维曲线。一元函数模型是最常见的函数模型。

拟合方法

函数模型的拟合步骤可以分为两步：（1）建立模型；（2）确定参数。按照拟合工具的不同，本文将函数模型的计算机拟合方法分为“Origin软件法”和“C语言程序法”两种。实施这两种拟合方法的共同前提条件是：函数模型的实际测量值xji、yi（i=1~n，j=1~p）已知，其中n为样本容量，p为自变量个数。

Origin软件法

1 操作步骤

Origin软件法适用于一元函数模型的拟合，它适用于“函数模型尚未建立”的情形。Origin软件可以根据已知的xi、yi值（i=1~n），直接拟合出x与y之间存在的函数关系——建立函数模型、确定模型参数、画出函数曲线。其操作步骤如下所示：

（1）打开Origin软件，新建Workbook文件，在操作界面中输入xi、yi两列数据；

（2）选中上述两列数据，按下快捷键“Ctrl+Y”，从而打开了“曲线拟合”对话框。

（3）在Settings选项卡中，在Category下拉菜单中选择函数模型的类别，在Function下拉菜单中选择函数模型。此时，在Fit Curve选项卡窗口中可以看到所选函数模型的拟合曲线，在Formula选项卡中可以看到所选函数模型的表达式。

（4）根据拟合曲线的形态，选择曲线拟合度看上去比较高的函数模型，点击“Fit键”左边的“Fit till converged键”。点击Messages选项卡，观察此窗口中显示的COD(R^2)值，记录下此时所选择的函数模型。

（5）重复第（3）（4）步——选择不同的函数模型。

（6）根据第（3）（4）（5）步的结果，选择COD(R^2)值最接近1时所对应的函数模型，点击“Fit键”（如果刚刚点击过“Fit till converged键”，此时则会变为“OK键”）。

此时，Origin软件的输出结果就是所求的函数模型。其中：Notes表格中的Equation就是所求函数模型的表达式；Parameters表格中显示了函数模型各个参数的数值；Statistics表格中显示了函数模型的“残差平方和”与“调整后的决定系数”的数值；Fitted Curves Plot表格中显示了函数模型的拟合曲线。

2 应用实例

下面以一个一元函数模型为例，对Origin软件法予以说明。已知xi、yi值（i=1~21）如下表所示：

按照上节所述，接下来的操作步骤就是：

（1）打开Origin软件，新建Workbook文件，在操作界面中输入表1中xi、yi（i=1~21）这两列数据；

（2）选中上述两列数据，按下快捷键“Ctrl+Y”，从而打开了“曲线拟合”对话框。

（3）在Settings选项卡中，在Category下拉菜单中选择“Origin Basic Functions”，在Function下拉菜单中选择“Sine”。此时，在Fit Curve选项卡窗口中可以看到Sine函数模型的拟合曲线，在Formula选项卡中可以看到Sine函数模型的表达式。观察后发现Sine函数模型拟合曲线的拟合度看上去不高，遂重新选择函数模型。

重复上述操作，在Settings选项卡中，在Category下拉菜单中仍然选择“Origin Basic Functions”，在Function下拉菜单中选择“Gauss”。此时，在Fit Curve选项卡窗口中观察Gauss函数模型的拟合曲线，发现曲线的拟合度看上去较高。

（4）点击“Fit键”左边的“Fit till converged键”。点击Messages选项卡，观察此窗口中显示的COD(R^2)值为0.978，记录下此时所选择的函数模型——Gauss。

（5）重复第（3）（4）步——选择不同的函数模型。本例中则是继续在Category下拉菜单中选择“Statistics”，在Function下拉菜单中选择“Extreme”。此时，在Fit Curve选项卡窗口中观察Extreme函数模型的拟合曲线，发现曲线的拟合度看上去较高，点击“Fit键”左边的“Fit till converged键”。点击Messages选项卡，观察此窗口中显示的COD(R^2)值为0.990，记录下此时所选择的函数模型——Extreme。

（6）根据第（3）（4）（5）步的结果，选择COD(R^2)值最接近1时所对应的函数模型——Extreme，点击“OK键”得到最终输出结果。

此时，Origin软件的输出结果就是所求的函数模型。其中：Notes表格中的Equation就是所求函数模型的表达式，为——其中y0、xc、w、A为模型参数；Parameters表格中显示了函数模型4个参数的数值，它们分别为y0=254.65、xc=0.86、w=0.27、A=56703.22；Statistics表格中显示了函数模型的“残差平方和”与“调整后的决定系数”的数值，它们分别为8.16×107和0.99；Fitted Curves Plot表格中显示了函数模型的拟合曲线如下所示：

C语言程序法

1 操作步骤

C语言程序法适用于一元函数模型和多元函数模型的拟合，它适用于“函数模型已经建立，但其参数尚未确定”的情形。例如：已经运用数学方法建立了双参数函数模型，接下来的函数模型拟合步骤就是：

（1）确定参数a1、a2的取值范围：例如、，且a1、a2为整数。

（2）借助C语言程序，利用穷举法，将a1、a2所有可能的取值都分组一一代入到函数模型中去，求出每组a1、a2值所对应的函数模型的“残差平方和”。

（3）根据“最小二乘法”，记录下使函数模型的残差平方和取得最小值时的a1、a2值——a1'、a2'。

（4）将a1'、a2'代入到函数模型中，得到，函数模型拟合完毕。

另外，除了“残差平方和”之外，“决定系数”和“调整后的决定系数”也可以作为函数模型拟合的指标来使用。

2 应用实例

下面以一个一元函数模型为例，对C语言程序法予以说明。已知xi、yi值（i=1~21）如第2.1.2节中表1所示。首先，已经运用数学方法建立了三参数一元函数模型，其中m、n1、n2为待定参数。接下来的函数模型拟合步骤就是：

（1）确定参数m、n1、n2的取值范围。本例中：，，且n1、n2为整数；，且m为100的倍数——为了便于计算。

（2）借助C语言程序，利用穷举法，将m、n1、n2所有可能的取值都分组一一代入到函数模型中去，求出每组m、n1、n2值所对应的函数模型的“残差平方和”。

（3）根据“最小二乘法”，记录下使函数模型的残差平方和取得最小值时的m、n1、n2值——m'=41800、n1'=21、n2'=322。

（4）将m'、n1'、n2'值代入到函数模型中，得到，函数模型拟合完毕。此函数模型的拟合曲线如图1所示：

两种方法的对比

函数模型的计算机拟合方法分为“Origin软件法”和“C语言程序法”两种：Origin软件法是利用Origin软件的“曲线拟合”命令，直接选择Origin软件所提供的函数模型，将含参数的函数模型拟合出来，它适用于一元函数模型的拟合；C语言程序法是用数学方法首先建立含参数的函数模型，然后再利用C语言程序确定函数模型中的参数，它适用于一元函数模型和多元函数模型的拟合。上述两种方法各有利弊：

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