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分块矩阵

高等代数中的一个重要内容

分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。

定义
将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例如，
其中E1，E3分别表示1阶、3阶单位矩阵，O表示1×3的零矩阵，而 。
同一个矩阵可以有多种不同的分块方法，从而形成不同的分块矩阵。例如上例的矩阵也可分成也可分成
其中E2表示2阶单位矩阵，O表示2阶零矩阵，而 。
运算规则
加法
设 ， ，用同样的方法对A，B进行分块，即 ， 为同型矩阵，则 。
数乘
设 ，k是任意数，定义分块矩阵 与k的数乘为 。
乘法
设A是 阶矩阵，B是 阶矩阵，即A的列数=B的行数，分块 ， ，即A的列分块法=B的行分块法。
则A与B的乘积 是 阶分块矩阵，
其中， 。
转置
设矩阵 是 阶分块矩阵， ，则 。
特殊分块矩阵
分块对角矩阵
设A为n阶方阵，若A的分块矩阵在非主对角线上的子块皆为零矩阵，且在主对角线上的子块都是方阵，即
其中O表示零矩阵， 都是方阵，那么称A为分块对角矩阵。
性质：
① ；
②若 ，则A可逆，且 ；
③同结构的准对角矩阵的和、差、积、数乘及逆仍是准对角矩阵，且运算表现为对应子块的运算。
分块上下三角矩阵
对方阵进行分块后，主对角线上的子块矩阵都是方阵，主对角线以下（以上）的子块矩阵都是零矩阵，即
或
称为分块上（下）三角形矩阵。
性质：
①同结构的分块上（下）三角形矩阵的和（差）、积（若乘法运算能进行）仍是同结构的分块矩阵。
② 数乘分块上（下）三角形矩阵也是分块上（下）三角形矩阵。
③ 分块上（下）三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆；若可逆，则的逆阵也是分块上（下）三角形矩阵。
④ 分块上（下）三角形矩阵对应的行列式： 。
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