分布参数

统计学的基本概念之一

分布参数（distributed parameter）是统计学的基本概念之一。指统计学中用以区别分布函数族{Fθ|θ∈Θ}中的各个分布的指标θ的函数g(θ)和分布的数字特征，如总体均值、总体标准差、总体相关系数等。参数的所有可能值组成的集合Θ称为参数空间。参数一般不易获得，可根据反映总体情况的样本求出的统计量去估计它。

定义

分布参数（distributed parameter）是统计学的基本概念之一。指统计学中用以区别分布函数族{Fθ|θ∈Θ}中的各个分布的指标θ的函数g(θ)和分布的数字特征，如总体均值、总体标准差、总体相关系数等。

参数的所有可能值组成的集合Θ称为参数空间。参数一般不易获得，可根据反映总体情况的样本求出的统计量去估计它。这种由样本对总体参数作推断，正是统计推断经常要进行的工作。

类型

定义分布所采用的大多数参数，根据其物理或几何解释，可分为三个基本类型。它们是：

(1)位置参数(记为γ)

位置参数γ确定了一个分布函数取值范围的横坐标。当γ改变时，相应的分布函数仅仅向左或向右移动而不发生其他变化，因而又称为位移参数。

例如，均匀分布函数U(a，b)，其密度函数为

其中，参数a定义为位置参数，当a改变时(保持b-a不变)，f(x)向左或向右移动(参见图1)。

(2)比例参数(记为β)

比例参数决定分布函数在其取值范围内取值的比例尺。β的改变只压缩或扩张分布函数，而不会改变其基本形状。

例如，指数分布函数Exp(β)，其密度函数为

图2给出了β=2，1，0.5时f(x)的图形。

(3)形状参数（记为α）

形状参数确定分布函数的形状，从而改变分布函数的性质，例如韦伯分布Weibull（α，β），其密度函数为

当α改变时，其形状发生很大的变化。图3给出了α=1，2，3时f(x)的图形。

对于随机变量X，Y，如果存在一个实数γ，使X与Y具有相同的分布，则称X与Y仅仅是位置上不同的变量；如果对于某个正实数β，使得βX与Y具有相同的分布，则称X与Y仅仅是比例尺不同的随机变量；如果能找到实数γ与β，使γ+βX与Y具有相同的分布，则称X与Y仅在位置与比例上不同。如果不存在γ与β使γ+βX与Y的分布相同，则X与Y或者其形状参数不同，或者根本不服从同一类分布。

估计

由观测数据估计某一分布参数的方法很多，使用最普遍的是最大似然估计，其他还有最小二乘估计、无偏估计等。这里我们讨论最大似然估计，其他方法可参阅有关文献。

先讨论只有一个未知参数的情形，设该参数为θ，观测数据为x1，x2，...，xn。

在离散分布情形，可令Pθ(x)为该分布的概率质量函数，定义似然函数L(θ)为

则L(θ)是联合质量函数，θ的最大似然估计值是使L(θ)取最大值的θ，即对于所有可能的θ值，L( )≥L(θ)。

在连续分布情形，令fθ(x)为该分布的概率密度函数，其似然函数定义为L(θ)：

下面举例说明如何由观测值估计分布参数。

举例

泊松分布，被估计参数θ=λ（λ>0），分布质量函数为Pλ(x)=e-λλx/x!，(x=0,1,2,...)，则

令R(λ)=ln L(λ)，再计算

解得

又由