分裂引理

任何阿贝尔范畴中，关于短正合序列的下列陈述是等价的

在数学中，更准确地是同调代数中，分裂引理（splitting lemma）说在任何阿贝尔范畴中，关于短正合序列的下列陈述是等价的。

基本信息

给定一个具有映射 q 与 r 的短正合序列：

我们写出映射（可能不存在）的箭头 t 与 u：

下列陈述是等价的：

1. 左分裂存在一个映射 t: B → A 使得 tq 是 A 的恒等； 2. 右分裂存在一个映射 u: C → B 使得 ru 是 C 的恒等； 3. 直和 B 同构于 A 与 C 的直和，q 是 A 的自然内射而 r 是到 C 的投影。如果上述陈述成立，短正合序列成为分裂的。

这使我们可改进第一同构定理：

这一同构定理说在上述短正合序列中；如果序列分裂则，而第一同构定理恰是到 C 的投影。这是线性代数中秩-零化度定理（的形式）的一个范畴推广。

证明

首先证明 (3) 蕴含 (1) 与 (2)。我们假设 (3) 成立，取 t 为直和到 A 的自然投影，取 u 为 C 到直和的自然内射。

为了证明 (1) 晕含 (3)，首先注意到 B 中任何元素属于集合 (ker t + im q)。这是因为对 B 中任意 b，b = (b - qt(b)) + qt(b)；qt(b) 显然属于 im q，而 (b - qt(b)) 属于 ker t，因为

t(b - qt(b)) = t(b) - tqt(b) = t(b) - (tq)t(b) = t(b) - t(b) = 0. 然后，im q 与 ker t 的交集为 {0}，因若存在 a 属于 A 使得 q(a) = b 以及t(b) = 0，则 0 = tq(a) = a；从而 b = 0。

这就证明了 B 是 im q 与 ker t 的直和。故对所有 b 属于 B，b 可以惟一地等同于某个 a 属于 A，k 属于 ker t，使得 b = q(a) + k。

由正合性，ker rq = A，故 ker r = im q。子序列 B → C → 0 蕴含着 r 是映上的；从而对任意 c 属于 C 存在某个 b = q(a) + k 使得 c = r(b) = r(q(a) + k) = r(k)。故对任意 c 属于 C，存在 k 属于 ker t 使得 c = r(k)，以及 r(ker t) = C。

如果 r(k) = 0，则 k 属于 im q；因 im q 与 ker t 的交集 = {0}，则 k = 0。从而同态 r : ker t → C 的限制是一个同构；且 ker t 同构于 C。

最后 im q 同构于 A，因为 0 → A → B 的正合性；故 B 同构于 A 与 C 的直和，这就证明了 (3)。

类似地可证明 (2) 蕴含 (3)。B 中任何元素属于集合 ker r + im u；因为对所有 b 属于 B，b = (b - ur(b)) + ur(b)，这属于 in ker r + im u。ker r 与 im u 的交集是 {0}，因若 r(b) = 0 以及 u(c) = b，则 0 = ru(c) = c。

由正合性，im q = ker r，以及 q 是一个内射，im q 同构于 A，故 A 同构于 ker r。由于 ru 是一个双射，u 是一个内射，故 im u 同构于 C。所以 B 是 A 与 C 的直和。

非阿贝尔群

这里所述的形式，分裂引理在全群范畴中不成立，它不是一个阿贝尔范畴。

部分真

它是部分真的：如果一个群短正合序列是左分裂或是直和（条件 1 或 3），则所有条件成立。对直和这是清楚的，因为直和给出的内射与投影。对一个左分裂序列，映射给出一个同构，故 B 是一个直和（条件 3），从而取此同构之逆并与自然内射复合给出一个分裂 t 的内射（条件 2）。

但是如果一个短正合序列是右分裂的（条件 2），则未必是左正合的或是直和（条件 1 或条件 3 均未必成立）：问题是右分裂的像不必是正规的。在此情形 B 是一个半直积，一般不是一个直积。

反例

为了构造一个反例，取最小非阿贝尔群，三个字母的对成群。设 A 为交错子群，令。令 q 与 r 分别表示包含映射与符号映射，从而

是一个短正合序列。条件 (3) 部成立，因为 S3 不是阿贝尔群。但条件 (2) 成立：我们通过将生成元映到任意二阶循环定义 u: C → B。注意条件 (1) 不成立：任何映射 t: B → A 必然将任何二阶循环映为单位，由拉格朗日定理。但每个置换是两个循环之乘积，故 t 是平凡映射，从而 tq: A → A 是平凡映射，而不是恒等于。