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分角定理

平面几何中的基础定理

分角定理是平面几何中的一条基础定理。应用分角定理可以处理很多涉及到边角转换、比例线段的几何问题。

简介
分角定理指出：在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有。
证明
(1.1)
(1.2)
由1.1式和1.2式得
推广
∵由正弦定理得
∴上式也写成：，这样就实现了线段比彻底转化成角的比。
与其他定理的转换
（一）用《分角定理》证明《张角定理》：即三角形内有一条分角线,各分角正弦与不相邻边的比之和=大角正弦与分角线之比。△ABC中,AD内分∠BAC, 则有（sin∠BAD/AC）+ (sin∠CAD/ AB) = ( sin∠BAC/AD)。
证明：由AC外分∠BAD, 由《分角定理》→（CD/CB）=（sin∠CAD/ sin∠CAB）·（AD/AB）→
(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→（BD/BC）=
（sin∠BAD/ sin∠BAC）·（AD/AC）→(sin∠BAD/ AC)=（BD/BC）·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→
(sin∠BAD/ AC) +(sin∠CAD/ AB) = sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)= ( sin∠BAC/AD)。证毕。
（二）用《分角定理》证明《三弦定理》：过圆上一点A任作三条弦，AB（左）、AC（右）、AD（中），则有AB·sin∠CAP +AC·sin∠BAP= AD·sin∠BAC。（AD与BC交于P）
证明：由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=（CP/BC）·（AB/AP）→(AB·sin∠CAP/
sin∠BAC)=（CP/BC）（AB·AB）/AP⑴，同理由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/ sin∠BAC)=
（BP/BC）（AC·AC）/AP⑵，由⑴+⑵→(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[（CP·AB·AB）/（AP·BC·AD）+（BP·AC·AC）/（AP·BC·AD）] = AD·sin∠BAC[（CP/AP）（AB/BC）（AB/AD）+（BP/AP）（AC/BC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC[（sin∠CAP/ sin∠ACP）（sin∠ACP/ sin∠BAC）（AB/AD）+（sin∠BAP/ sin∠ABC）（sin∠ABC/ sin∠BAC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC[（sin∠CBD/ sin∠BDC）（AB/AD）+（sin∠BCD/ sin∠BDC）（AC/AD）= AD·sin∠BAC [（CD/BC）（AB/AD）+（BD/BC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC [（CD·AB）/（BC·AD）+（BD·AC）/（BC·AD）] 由《托氏定理》，所以有
(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。证毕。
（三）用《分角定理》证明《全面三割线定理》：过圆外一点。任作三条割线，则有
（PB·sin∠DPQ + PA·sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=（sin∠EPQ/PD + sin∠DPQ/PE）×sin∠DPE·PC。
证明：连AE交PC于M，连BD交PC于N，连AC、BC、DQ、EQ。
由PD外分∠BPN，由《分角定理》→(sin∠DPQ/ sin∠DPE)=（DN/DB）·（PB/PN）→
PB sin∠DPQ= sin∠DPE（DN·PB·PB）/（DB·PN）⑴。
由PE外分∠APM，由《分角定理》→(sin∠EPQ/ sin∠DPE)=（EM/EA）·（PA/PM）→
PA sin∠EPQ= sin∠DPE（EM·PA·PA）/（EA·PM）⑵。由⑴+⑵→
PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ = sin∠DPE[（DN·PB·PB）/（DB·PN）+（EM·PA·PA）/（EA·PM）]×PC/PC
=PC sin∠DPE[（DN/PN）（PB/DB）（PB/PC）+（EM/PM）（PA/EA）（PA/PC）]
= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/ sin∠PDN) (sin∠PDN/ sin∠DPE) (sin∠PCB/ sin∠PBC)+ (sin∠EPQ/ sin∠PEM)
(sin∠PEM/ sin∠DPE) (sin∠PCA sin∠PAC)]，两边×sin∠DPE/PQ→
（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[（sin∠DPE/PQ）(sin∠DPQ/ sin∠DPE)
(sin∠PEQ/ sin∠PQE)+（sin∠DPE/PQ）(sin∠EPQ/ sin∠DPE) (sin∠PDQ sin∠PQD)] →
（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)（PQ/PE）+(sin∠EPQ/PQ) （PQ/PD）]
∴（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+ (sin∠EPQ/PD)]证毕。
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