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切比雪夫多项式

数学术语

切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821一1894)的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式Tn和第二类切比雪夫多项式Un(简称切比雪夫多项式)。源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。

公式源来
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质
对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
n 1时，Tn的最高次项系数为 ，n=0时系数为1。
公式分类
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程：
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
第一类切比雪夫多项式
由以下递推关系确定
也可以用母函数表示
第二类切比雪夫多项式
由以下递推关系给出
此时母函数为
两类关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例，后者是雅可比多项式的特例。
切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
公式应用
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
切比雪夫多项式插值
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
幂级数项数的节约
设f(x)在(1,1)上的近似展开式为
若
其中 是给定的误差限．可以利用切比雪夫多项式将Pn(x)重新组合以降低逼近多项式的次数。记
若
而
则可以把后面m项去掉，得到f(x)新的，n-m次的并满足误差要求的逼近多项式
事实上，只要注意
并利用范数的三角不等式，容易证明
切比雪夫多项式一直是研究热点，已发现了许多良好的性质，如正交性、奇偶性、有界性、完备性等，产生了不少恒等式，得到了一些积和式，对第一类切比雪夫多项式构成的递推关系式、不动点、方程(组)也有了初步的研究成果，对切比雪夫型基本方程组全体复数解的一般表示及其周期轨表示、二维切比雪夫型方程组也出现了更深入的研究。有的学者则研究了其在分子轨道方面的应用，在Fibonacci数的应用，还有学者研究了与切比雪夫多项式相关的行列式。
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