列空间

数学名词

若矩阵A=[a1，a2，…，an]∈Cm×n为复矩阵，则其列向量的所有线性组合的集合构成一个子空间，称为矩阵A的列空间(column space)或列张成(column span)，用符号CoI(A)表示。

基本介绍

行向量、列向量若A为一m×n矩阵，A的每一行为一个实的n元组，于是可将其看成是R1×n中的一个向量。对应于A的m个行的向量称为A的行向量(row vector)。类似地，A的每一列可以看成是Rm中的一个向量，且称这n个向量为A的列向量(column vector)。

行空间、列空间如果A为一m×n矩阵，由A的行向量张成的R1×n的子空间称为A的行空间(row space)。由A的各列张成的Rm的子空间称为A的列空间(column space)。

例1 令

A的行空间是所有如下形式的3元组：

A的列空间是所有如下形式的向量：

因此，A的行空间为一个R1×3的二维子空间，且A的列空间为R。

列空间与线性方程组

在研究线性方程组时，行空间和列空间的概念十分有用，一个方程组可写为

定理1(线性方程组的相容性定理) 一个线性方程组相容的充要条件是b在的列空间中。

若将b用零向量替代，则(1)化为

由(2)知，当且仅当的列向量线性无关时，方程组仅有平凡解。

定理2 令为一m×n矩阵，当且仅当的列向量张成Rm时，对每一，线性方程组是相容的，当且仅当的列向量线性无关时，对每一，方程组至多有一个解。

推论当且仅当一个n×n矩阵的列向量为的一组基时，是非奇异的。

一般地，矩阵的秩和其零空间的维数加起来等于矩阵的列数。一个矩阵的零空间的维数称为矩阵的零度(nullity)。

定理3(秩一零度定理) 若为一m×n矩阵，则的秩与的零度的和为n。

相关定理

定理4 两个行等价的矩阵有相同的行空间。

证明：若B行等价于A，则B可由A经有限次行运算得到。因此，B的行向量必为A的行向量的线性组合。所以，B的行空间必为A的行空间的子空间，因为A行等价于B，由相同的原因，A的行空间是B的行空间的子空间。

定义 A的行空间的维数称为矩阵A的秩(rank)。

为求矩阵的秩，可以将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中的非零行将构成行空间的一组基。

例2令

将A 化为行阶梯形，得到矩阵

显然，(1，-2，,3)和(0，1，5)构成的行空间的一组基。因为和A是行等价所以它们有相同的行空间，且因此A 的秩为2。

一般地，若A为一m×n矩阵，且是A的行阶梯形，则由于当且仅当时，，故它们的列向量满足相同的依赖关系。

定理5若A为一m×n矩阵，则A的行空间的维数等于A的列空间的维数。

证明：若A为一秩为r的m×n矩阵，则A的行阶梯形将有r个首1元素。中对应于首1元素的列将是线性无关的。然而，它们并不构成A的列空间的基，这是因为，一般地，A和有不同的列空间。令为消去中自由变量所在的列得到的新矩阵。从A中消去相应的列，并记新矩阵为。矩阵和也是行等价的。因此，若x为的一个解，则x必为的解。因为的各列是线性无关的，故x必为0，因此，的各列也是线性无关的，因为有r列，所以A的列空间的维数至少为r。因为对任何矩阵，其列空间的维数大于或等于行空间的维数，将这个结论应用于，我们有

dim(A的行空间)=dim(的列空间)

≥dim(的行空间)

=dim(A的列空间)

因此，对任何矩阵A，行空间的维数必等于列空间的维数。

我们可以利用A的行阶梯形求A的列空间的一组基。我们只需求中对应于首1元素的列即可。A中的相应列将是线性无关的，并构成A的列空间的一组基。

注意：行阶梯形仅告诉我们A的哪一列用于构成基。但不能用的列作为基向量，这是因为和A一般有不同的列空间。

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