列维-奇维塔联络

微分几何术语

列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection），在黎曼几何中，是切丛上的无挠率联络，它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因意大利数学家图利奥·列维-奇维塔而得名。

定义

配有度量<·,·>的黎曼流形M的等距无挠联络∇定义为

<∇XY,Z>=1/2{X-Z+Y-++}，称为M的列维-奇维塔联络。

简介

黎曼几何基本定理表明存在唯一联络满足这些属性。

在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克里斯托费尔符号。

黎曼几何

微分几何中，黎曼几何（英语：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。

19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。

任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。

伪黎曼流形

伪黎曼流形（英语：Pseudo-Riemannian manifold）是一光滑流形，其上有一光滑、对称、点点非退化的张量。此张量称为伪黎曼度量或伪度量张量。

伪黎曼流形与黎曼流形的区别是它不需要正定（通常要求非退化）。因为每个正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量，亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。

每一个非退化对称，双线性形式有一个固定的度量符号。这里与记作正特征值及负特征值的个数。注意是流形的维数。黎曼流形就是以作为符号。

伪黎曼流形的符号称为洛伦兹度量。拥有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外，洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子类。因为它常被用于广义相对论。广义相对论首要假设是时空可以转为拥有符号的洛伦兹流形的模型。

和欧几里得空间可以被认为是黎曼流形的模型一样，,有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间(Minkowski space) 是洛伦兹流形的模型空间。特征数为的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的

有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量；因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。

形式化定义

设为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。

无挠率：也就是，对任何向量场我们有，其中是向量场和的李括号。

与度量相容：也就是,对任何向量场我们有，其中表示函数沿向量场的导数。

沿曲线的导数

列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用表示。

给定一个在上的光滑曲线和上的一个向量场，其导数定义如下

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