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创造集

余集为产生集的re集

创造集(creative set)亦称能行非递归集，是余集为产生集的re集。设a为re集，若ā是产生集，则称a为创造集。例如K={x|φx(x)↓}就是一个创造集。关于创造集的最重要的结果是迈希尔(J.Myhill)证明的：A为创造集，当且仅当A为一一完全的，又当且仅当A为m完全的。若A为创造集，则A既非递归集，也非单纯集。但是递归集、创造集和单纯集并没有穷尽全部的re集，德克尔(J.Dekker)证明了存在一个非递归、非单纯又非创造集的re集。并称这种集合为中间集。不仅如此，还证明了任何非递归reT度中都有中间集。

定义
定义1设 是一个递归可枚举集。若存在递归函数 使对任何递归可枚举集 ，如果 ， ，就说 是创造集。
与创造集紧密联系的有另一个概念，即生产集。
定义2给定集合 ，若存在递归函数 ，使当 时， ，就说A是一个生产集， 叫A的生产函数。
生产集当然不是递归可枚举集。
定义3利用生产集的概念，可以重新定义创造集如下：
若A满足下列条件：
(1) A 是递归可枚举集；
(2) 是生产集，
就说A是创造集。
生产集的特点是从它的任何一个递归可枚举子集出发，可以有效地找出一个更大的递归可枚举子集。
相关结论
定理1 设 为一元递归函数的集合， ，如果 是递归枚举集，那么F是创造集。
证明：显然空函数 ，因为不然的话F是生成集，与题设矛盾。因此 ，又由定理2，是生成集，从而F是创造集。证毕。
运用本定理可以很快地判定 等递归枚举集是创造集。
定理2 设为一元递归函数的集合，，并且至少有一个，那么是生成集。
创造集的一个重要性质如下.
定理3 如果A是创造集，那么A的补集 含有一个无穷的递归枚举子集。
定理4 设 ，若A是生产集，则B是生产集。
推论 设 ，设A是创造集，B是递归可枚举集，则B是创造集。
定理5 若A是单纯集，那么A不是创造集。
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