前方交会

定位方法

“角度前方交会”是通过观测角A和角B求出点P坐标的定位方法；“方位角前方交会”是通过观测方位角AP和BP求出点P坐标的定位方法。

定义

如图3所示，点 A、B 的坐标已知。

通过观测角 A 和角 B 求出点 P 坐标的定位方法被称之为“角度前方交会”；

通过观测方位角 AP 和 BP 求出点 P 坐标的定位方法被称之为“方位角前方交会”。

角度前方交会

角度前方交会的计算公式如下：

上式虽然漂亮，但是并不适合于编写程序代码，因为角 A、B 可能会接近0或180度。编写程序时，可使用下式：

关于sign，它的取值为+1或-1，具体要求为：

当 A、B、P 的排列顺序与方位角的增加方向一致时，它取值为1；

当 A、B、P 的排列顺序与方位角的增加方向相反时，它取值为-1。

更具体的说，就是：

测量坐标系下，A、B、P 顺时针排列时，sign=1；A、B、P 逆时针排列时，sign=-1。

数学坐标系下，A、B、P 逆时针排列时，sign=1；A、B、P 顺时针排列时，sign=-1。

方位角前方交会

方位角前方交会的计算公式如下：

定位精度

点P的精度为

可见，为了减少测量误差，有效途径为

1、提高方位角观测精度，即减小；

2、P 点离 A、B 两点不能太远，即减小 AP 和 BP；

3、角 P 最好接近90度，即的绝对值尽量大。

前方交会法

测角前方交会法原理即用经纬仪分别在已知点A和B上测出角α和角β，可根据上式计算待定点P的坐标。

前方交会法一般是在周边建筑物顶上布设强制对中观测墩，在其上设站观测。所以其视角开阔，基本上能观测到基坑内的所有点。然而，它至少须在两个观测墩上设站测量，观测量较大。并且，两个观测墩之间的转站通常是在两栋建筑物之间转，非常费时费事。另一方面，前方交会对于图形条件的要求高，从而限制了其大范围的使用，一般只对少数点使用。在地铁基坑监测中，前方交会一般用于工作基点的稳定性检查。

基于前方交会的5点相对定向

相机标定是光学成像测量（如视频测量、机器视觉）研究领域的热点问题之一，是实现高精度光学成像测量的基础。相机标定方法可分为三类：

1)传统相机标定法，通过建立精密加工的标定块上已知三维(3D)坐标点与其像点间的对应关系，计算摄像机的内外参数。该方法的优点在于可以获得较高的精度，但不适用于在线标定和不能使用标定块的场合；

2)基于主动视觉的标定方法，需要控制摄像机做精确的特殊运动（如绕光心旋转或纯平移等），以计算内外参数。该方法的优点是算法简单，往往能获得线性解，缺点是不适用于摄像机运动未知或无法控制的场合；

3)自标定方法，利用不同角度获得的同名像点间的对极几何关系（即同名像点共面），计算出摄像机内外参数。

自标定方法因无需加工和维护成本很高的精密标定板，也不用制作高精度摄像机运动平台，仅通过不同视角的同一场景图像实现摄像机标定，成为研究热点。共面条件方程是摄像机自标定的理论基础，如五点算法、七点算法和八点算法等的核心均是同名像点的共面条件方程。其中五点算法具有以下优势而被广泛关注：1)五点算法具有更少的退化形式，譬如，对平面场景不退化，但八点算法退化；2)当五点算法与一致随机取样（RANSAC）结合使用时，较七点与八点算法更高效；3)五点算法的实现精度高于八点算法；4)五点算法需要设置的标记点更少。但是，按照摄影测量学的相对定向理论，同名射线对对相交才是相对定向成功的标志。因此，仅依赖5个同名像点的共面条件方程，难以确保本质矩阵求解成功：1)现有的五点算法因采用多项式求解技术，存在多个解而非单一解，存在误解的排除问题；2)5个同名像点的共面不能确保这5对同名射线对对相交，导致本质矩阵求解失败、相对定向失败。为此，本文研究了基于前方交会约束的5点相对定向方法，建立包含前方交会约束的同名像点共面条件方程，研究其数值计算方法，通过非量测相机的5点相对定向测量实验，验证本文方法的正确性。

实验

实验采用非量测相机NikonD80单反相机（分辨率为3872 pixel×2592 pixel），Nikon24mm定焦镜头，以自由拍摄方式，从不同视角拍摄包含2标尺及其他8个编码点的照片。如图1所示，标尺1的编码点分别为1919和255，标尺2的编码点分别为1407和895，两个标尺长度采用计量级三坐标测量机标定，分别为917.233 mm和920.604 mm，标尺1和标尺2的长度比值LR为0.996。采用MicrosoftVisualStudio2008开发了前方交会约束的5点相对定向软件，图1是该软件处理表1中3对像对的界面，图1中绿色数字为编码点编号，红色数字为选中的编码点编号，5点定向选择的编码点为861、1919、1407、255、895。

为了进一步验证本文方法的正确性，用表1和表2的定向结果计算标尺比LR，LR的绝对误差如图2所示，从图2中可知像对1、6、7使用两种方法求解均能得到正确的结果，但是本文算法绝对误差更小[图2(b)]，三组实验的平均绝对误差小7.67×10-3，表明长度为920 mm目标的三维长度绝对误差减少7.1 mm；其余无前交约束像对则因相对定向元素求解失败，导致LR的计算值出现较大误差，而本文方法依然准确，表明本文方法求得的标尺比绝对误差小，并且更加稳定。

另一方面，如表3所示，用标尺1分别对表1与表2中的相对定向结果进行绝对定向，得到标尺2的测量值；同理用标尺2进行绝对定向得到标尺1的测量值。由表3可知，利用标尺2绝对定向后测得标尺1的平均值为917.5 mm，均值误差的不确定度为0.3±0.2 mm；同理，利用标尺1绝对定向后测得标尺2的平均值为920.3 mm，均值误差的不确定度为0.3±0.2 mm。结果表明对于非量测相机NikonD80，采用本文方法可以得到满意的测量精准度，从而验证了本文方法的有效性。

研究结论

建立了基于前方交会的5点相对定向方法，推导了包含前方交会约束的同名像点共面条件方程及其数值计算方法。非量测相机NikonD80的8组5点相对定向实验结果表明，该方法仅利用5个同名像点既可获得两张像片的相对位置（相对定向）立体模型，在测量长度为920 mm的标尺3D长度时，误差的标准不确定度为0.3±0.2 mm，与无约束5点相对定向方法相比，该方法无需排解即可确保5对同名射线对对相交，并且求解精度高，稳健性好，有实用价值。

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