前缀表达式

不含括号的算术表达式

前缀表达式是一种没有括号的算术表达式，与中缀表达式不同的是，其将运算符写在前面，操作数写在后面。为纪念其发明者波兰数学家Jan Lukasiewicz，前缀表达式也称为“波兰式”。例如，- 1 + 2 3，它等价于1-(2+3)。

基本释义

前缀表达式就是前序表达式，是一种是由波兰数学家扬·武卡谢维奇1920年引入的数学表达式方式。

例如，- 1 + 2 3，它等价于1-(2+3)。

注意事项

后缀表达式源自于前缀表达式，为了区分前缀和后缀表示，通常将后缀表示称为逆波兰表示；因前缀表示并不常用，所以有时也将后缀表示称为波兰表示。

运算优势

前缀表达式是一种十分有用的表达式，将中缀表达式转换为前缀表达式后，就可以只依靠出栈、入栈两种简单操作完全解决中缀表达式的全部运算。

例如，(a+b)*(c+d)转换为*,+,a,b,+,c,d。

后面的前缀表达式的运算方式为：如果当前字符(或字符串)为数字或变量，则压入栈内；如果是运算符，则将栈顶两个元素弹出栈外并作相应运算，再将结果压入栈内。当前缀表达式扫描结束时，栈里的就是中缀表达式运算的最终结果。对比中缀运算的步骤，不难发现前缀运算在计算机上的优势。

求值方法

对前缀表达式求值，要从右至左扫描表达式，首先从右边第一个字符开始判断，若当前字符是数字则一直到数字串的末尾再记录下来，若为运算符，则将右边离得最近的两个“数字串”作相应运算，然后以此作为一个新的“数字串”并记录下来；扫描到表达式最左端时扫描结束，最后运算的值即为表达式的值。

例如：对前缀表达式“- 1 + 2 3”求值，扫描到3时，记录下这个数字串，扫描到2时，记录下这个数字串，当扫描到+时，将+右移做相邻两数字串的运算符，记为2+3，结果为5，记录下5这个新数字串，然后继续向左扫描，扫描到1时，记录下这个数字串，扫描到-时，将-右移做相邻两数字串的运算符，记为1-5，结果为-4，此时关于这个表达式的全部运算已完成，故表达式的值为-4。

表达对照

中缀表达式转化为前缀表达式的例子:

a+b ---＞ +,a,b

a+(b-c) ---＞ +,a,-,b,c

a+(b-c)*d ---＞ +,a,*,-,b,c,d

a+1+3 ---＞ +,+,a,1,3

转换算法

(1) 首先构造一个运算符栈(也可放置括号)，运算符(以括号为分界点)在栈内遵循越往栈顶优先级不降低的原则进行排列。

(2)从右至左扫描中缀表达式，从右边第一个字符开始判断：

如果当前字符是数字，则分析到数字串的结尾并将数字串直接输出。

如果是运算符，则比较优先级。如果当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶是括号时，直接入栈)，则将运算符直接入栈；否则将栈顶运算符出栈并输出，直到当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶是括号时，直接入栈)，再将当前运算符入栈。

如果是括号，则根据括号的方向进行处理。如果是右的括号，则直接入栈；否则，遇左括号前将所有的运算符全部出栈并输出，遇右括号后将左、向右的两括号一起出栈(并不输出)。