割圆曲线

圆积线

割圆曲线(quadratrix)亦称圆积线,一类特殊曲线,指解决化圆为方问题的曲线。求作一个正方形,使它的面积与已知圆的面积相等,称为化圆为方问题。凡是可以用来解决化圆为方问题的曲线,都称为割圆曲线。例如,阿基米德螺线、蜗牛线、琴豪生割圆曲线、奥扎南曲线都是割圆曲线。而最有名的要算狄诺斯特拉托斯割圆曲线y=x cot(πx/2a),(|x|≤a),狄诺斯特拉托斯割圆曲线是希皮亚斯(Hippias,(E))发现的,在各种曲线里,除去直线和圆以外,就算它发现得最早了,用它很容易解决三等分任意角问题,狄诺斯特拉托斯(Dinostratus)继续研究这种曲线,发现可以用它解决化圆为方问题。

定义
割圆曲线是一种平面曲线,其直角坐标方程为其中r 为以原点为圆心的圆的半径(图1,r=OA)。
割圆曲线亦可用动点的轨迹来定义。直线OM绕点O匀速转动(顺时针方向),与y轴平行的直线A'B'同时开始沿x轴方向平移。当OM旋转90°时,A'B'恰好平移距离OA=r,这样,OM与A'B'的交点P的轨迹就是割圆曲线之一段。
割圆曲线是在研究解古代三大作图问题(化圆为方、三等分角和倍立方)时的一种数学成果。大约在公元前420年,希庇亚斯发现了称做割圆曲线(quadratrix)的超越曲线,并发现它可以用于解三等分角和化圆为方两个问题。
割圆曲线的形成
割圆曲线可由以下方法形成——
作一个正方形,它的底边为AB,让AB从底边的位置开始沿反时针方向,以一个固定的角速度绕A点旋转,另一方面,平行于AB的线段(其端点位于AD和BC)也从AB开始,以一个固定的线速度运动。这两条运动线段的交点所形成的便是割圆曲线。以下的比总是相等的:
图4说明了与割圆曲线上D,K和E相联系的一些点。水平的虚线段表示边以固定的线速度运动,而沿圆弧所引的半径表示线段以固定的角速度运动。它们的交点D,I,J,K,L,M,E是割圆曲线上的点。
化圆为方—求圆面积问题
设ABCD 是正方形,BED 是圆的一个象限,圆心在点A。
设:(1)圆的半径均匀地绕着A转动,由AB转到AD的位置;(2)同时,直线BC亦均匀地沿着BA与AD平行地移动,最后移到AD的位置。于是转动的半径和移动的直线最后都与AD重合,而在这以前,转动的半径和移动的直线将有交点,如F或N。这种点的轨迹称为割圆曲线(quadratrix),图5。
这曲线的性质是: ∠BAD :∠EAD= 弧BED :弧ED= AB :FH。
设割圆曲线与AD 交于G,如果能够证明:
象限BED的弧长:AB= AB:AG。
那么就可求得象限BED的弧长,因而就可求得圆周的长度。设上述的比不等于AB:AG,不妨设这比等于AB:AK,AK或大于AG,或小于AG。
(1) 设AK>AG,图6,以A 为圆心,AK 为半径,作象限KFL 交割圆曲线于F,交AB于L。联结AF,延长AF交圆周BED于E,作FH 垂直于AD。
根据假定
弧BED :AB= AB : AK= 弧BED : 弧LFK。
所以,AB= 弧LFK,
但由割圆曲线的性质:
AB : FH=弧BED :弧ED=弧LFK:弧FK。
已经证得AB=弧LFK,则得FH=弧FK,这是不可能的,因此AK 不能大于AG。
(2) 设AK
如前,可证得:
AB= 弧LMK。
由割圆曲线的性质有:
AB :FK= 弧BED:弧DE=弧LMK : 弧MK。
由AB= 弧LMK,得FK= 弧KM,这是不可能的,因此AK不能小于AG。
总之,AK=AG,即:象限BED的弧长: AB=AB : AG。
象限的弧长既可求得,那么圆周长亦可求得。根据阿几米德书中的定理:圆的面积等于以圆周长为底、半径为高的直角三角形的面积,就可求得圆的面积了。
这个方法是有问题的,问题在于怎样确定点G? 有人说,可将象限BED 平分,即作AE,使∠DAE=45*,作B'C',则AB'=AB。再将∠DAE平分,得AE',二等分AB' 得B”,作B”C”,继续下去,最后可得到在AD上的一点G,但这样的方法乃是穷竭法,只能近似地得到G点,AG 的值是近似值,那么圆周长,圆面积都不可能是正确无误的数值。其实,对化圆为方问题有兴趣的不仅是希腊人,6 世纪的博埃斯(Boethius) 说,从亚里士多德时代以后,尝试去解这问题的有许多人,博埃斯自己对用尺规作图法去解此问题也是有过各种幻想的,许多人认为自己获得解决了,但他们往往在无意中用进了不可能的或特殊条件的假设,然而也遇到了推翻自己论点的批评。直到1882 年林德曼(Lindemann)证明π的超越性以后,人们才完全认识到化圆为方问题是不可能用尺规作图法去解决的。
利用割圆曲线解三等分角问题
设已知角为∠DAX,置角顶A于圆心,在圆内作割圆曲线,设AX 交割圆曲线于F,交圆于E。作FH⊥AD,将FH 三等分于K,作KL//AD,KL交割圆曲线于L,那么∠DAL 就是∠DAX 的三等分角,图8。
因由割圆曲线的性质:弧ED:弧MD= FH : KH,
因为KH= FH,故:弧MD=弧ED,
因此∠LAD=∠DAX。
注意:如果将FHn等分,利用割圆曲线就可将已知角n等分。
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