割圆曲线

圆积线

割圆曲线(quadratrix)亦称圆积线，一类特殊曲线，指解决化圆为方问题的曲线。求作一个正方形，使它的面积与已知圆的面积相等，称为化圆为方问题。凡是可以用来解决化圆为方问题的曲线，都称为割圆曲线。例如，阿基米德螺线、蜗牛线、琴豪生割圆曲线、奥扎南曲线都是割圆曲线。而最有名的要算狄诺斯特拉托斯割圆曲线y=x cot(πx/2a)，(|x|≤a)，狄诺斯特拉托斯割圆曲线是希皮亚斯(Hippias，(E))发现的，在各种曲线里，除去直线和圆以外，就算它发现得最早了，用它很容易解决三等分任意角问题，狄诺斯特拉托斯(Dinostratus)继续研究这种曲线，发现可以用它解决化圆为方问题。

定义

割圆曲线是一种平面曲线，其直角坐标方程为其中r 为以原点为圆心的圆的半径(图1，r=OA)。

割圆曲线亦可用动点的轨迹来定义。直线OM绕点O匀速转动(顺时针方向)，与y轴平行的直线A'B'同时开始沿x轴方向平移。当OM旋转90°时，A'B'恰好平移距离OA=r，这样，OM与A'B'的交点P的轨迹就是割圆曲线之一段。

割圆曲线是在研究解古代三大作图问题(化圆为方、三等分角和倍立方)时的一种数学成果。大约在公元前420年，希庇亚斯发现了称做割圆曲线(quadratrix)的超越曲线，并发现它可以用于解三等分角和化圆为方两个问题。

割圆曲线的形成

割圆曲线可由以下方法形成——

作一个正方形，它的底边为AB，让AB从底边的位置开始沿反时针方向，以一个固定的角速度绕A点旋转，另一方面，平行于AB的线段(其端点位于AD和BC)也从AB开始，以一个固定的线速度运动。这两条运动线段的交点所形成的便是割圆曲线。以下的比总是相等的：

图4说明了与割圆曲线上D，K和E相联系的一些点。水平的虚线段表示边以固定的线速度运动，而沿圆弧所引的半径表示线段以固定的角速度运动。它们的交点D，I，J，K，L，M，E是割圆曲线上的点。

化圆为方—求圆面积问题

设ABCD 是正方形，BED 是圆的一个象限，圆心在点A。

设：(1)圆的半径均匀地绕着A转动，由AB转到AD的位置；(2)同时，直线BC亦均匀地沿着BA与AD平行地移动，最后移到AD的位置。于是转动的半径和移动的直线最后都与AD重合，而在这以前，转动的半径和移动的直线将有交点，如F或N。这种点的轨迹称为割圆曲线(quadratrix)，图5。

这曲线的性质是： ∠BAD :∠EAD= 弧BED :弧ED= AB :FH。

设割圆曲线与AD 交于G，如果能够证明：

象限BED的弧长：AB= AB：AG。

那么就可求得象限BED的弧长，因而就可求得圆周的长度。设上述的比不等于AB：AG，不妨设这比等于AB：AK，AK或大于AG，或小于AG。

(1) 设AK>AG，图6，以A 为圆心,AK 为半径,作象限KFL 交割圆曲线于F，交AB于L。联结AF，延长AF交圆周BED于E，作FH 垂直于AD。

根据假定

弧BED :AB= AB : AK= 弧BED : 弧LFK。

所以，AB= 弧LFK，

但由割圆曲线的性质：

AB : FH=弧BED :弧ED=弧LFK:弧FK。

已经证得AB=弧LFK，则得FH=弧FK，这是不可能的，因此AK 不能大于AG。

(2) 设AK

如前，可证得：

AB= 弧LMK。

由割圆曲线的性质有：

AB :FK= 弧BED:弧DE=弧LMK : 弧MK。

由AB= 弧LMK，得FK= 弧KM，这是不可能的，因此AK不能小于AG。

总之，AK=AG，即：象限BED的弧长: AB=AB : AG。

象限的弧长既可求得，那么圆周长亦可求得。根据阿几米德书中的定理:圆的面积等于以圆周长为底、半径为高的直角三角形的面积，就可求得圆的面积了。

这个方法是有问题的，问题在于怎样确定点G? 有人说，可将象限BED 平分，即作AE，使∠DAE=45*，作B'C'，则AB'=AB。再将∠DAE平分，得AE'，二等分AB' 得B”，作B”C”，继续下去，最后可得到在AD上的一点G，但这样的方法乃是穷竭法，只能近似地得到G点，AG 的值是近似值，那么圆周长，圆面积都不可能是正确无误的数值。其实，对化圆为方问题有兴趣的不仅是希腊人，6 世纪的博埃斯(Boethius) 说，从亚里士多德时代以后，尝试去解这问题的有许多人，博埃斯自己对用尺规作图法去解此问题也是有过各种幻想的，许多人认为自己获得解决了，但他们往往在无意中用进了不可能的或特殊条件的假设，然而也遇到了推翻自己论点的批评。直到1882 年林德曼(Lindemann)证明π的超越性以后，人们才完全认识到化圆为方问题是不可能用尺规作图法去解决的。

利用割圆曲线解三等分角问题

设已知角为∠DAX，置角顶A于圆心，在圆内作割圆曲线，设AX 交割圆曲线于F，交圆于E。作FH⊥AD，将FH 三等分于K，作KL//AD，KL交割圆曲线于L，那么∠DAL 就是∠DAX 的三等分角，图8。

因由割圆曲线的性质：弧ED：弧MD= FH : KH，

因为KH= FH，故：弧MD=弧ED，

因此∠LAD=∠DAX。

注意：如果将FHn等分，利用割圆曲线就可将已知角n等分。

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