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割点

离散数学名词

在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。

定义
在无向联通图 G=(V,E)中: 若对于x∈V， 从图中删去节点x以及所有与x关联的边之后， G分裂成两个或两个以上不相连的子图， 则称x为G的割点。 简而言之， 割点是无向联通图中的一个特殊的点， 删去中这个点后， 此图不再联通， 而所以满足这个条件的点所构成的集合即为割点集合。
设G是一个图，x是G的一条边，如果G-x的连通分支数大于G的连通分支数，则称x是G的一个桥，或割边。
图1中，顶点u和v都是割点，其他顶点都不是割点，边uv是桥，其他边都不是桥。
对于铁路和公路等交通图，割点和桥在军事、经济上有重要的意义。显然有割点的图不是哈密顿图。而如果uv是桥且deg(u)≥2，则u是一个割点。
相关性质
定理1
设v是连通图的一个顶点，则下列命题等价：
(1)v是G的一个割点；
(2)存在与v不同的两个顶点u和w，使得v在u与w间的每条路上；
，使得，v在u与w间的每条路上。
证明 (1)(3)：设是的一个割点，则的连通分支数大于G的连通分支数，于是至少有两个连通分支。令U是G-v的一个连通分支的顶点集，W是其他各连通分支构成的的子图的顶点集。
显然，u与w不在的同一个连通分支中，所以在中u与w间没有路。而因为G是连通图，所以在G中u与w间有路。因此，在G中，v必在u与w间的每条路上。
(3)(2)：(2)是(3)的特例，所以(3)成立时(2)必成立。
(2)(1)：假设(2)成立，欲证(1)成立，只需证是不连通图。用反证法。假设连通，则在中至少有一条u与w间的路。于是G中有一条不过v的u与w间的路，这与(2)矛盾。所以是不连通图，从而v是G的一个割点。
定理2
每个非平凡的连通图中至少有两个顶点不是割点。
证明 每个非平凡的连通图必有生成树，非平凡的树至少有两个度数为1的顶点，它们就不是非平凡的连通图的割点。
定理3
设x为连通图的边，则下列命题等价：
(1)x是G的桥；
(2)x不在G的任一圈上；
(3)存在两个不同的顶点u和w，使得x在每一条u与w间的每条路上；
(4)存在V的一个2-划分，使得，x在u与w间的每条路上。
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