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加权残差法

用于求解微分方程近似解的数值方法

加权残差法又称加权残值法或加权残数法，是一种用于求解微分方程近似解的数值方法。加权残差法具有原理统一、不依赖变分、误差可知等优点，常应用于解算流体力学、固体力学等中的问题。加权残差法根据权函数的不同，可以分为多种类型。

简介
加权残差法是一种利用计算机求工程问题微分方程式近似解法数值方法。加权残差法又名加权残值法或加权残数法，常用于求解微分方程的近似解，具有简单、精确、迅速、计算机程序短的特点。
原理
若某一问题的基本微分方程及边界条件可一般地表达为：
（u∈Ω） （1.1a）
（u∈Γ） （1.1b）
式中，L、G表示微分算子；u为待求变量；、为已知函数。
设方程（1.1）的近似解函数为：
（1.2）
式中为给定的试函数；为待定系数。问题在于选取使得逼近真实解u。
加权残差法确定的原则在于使方程及边界条件的残数
（1.3a）
（1.3b）
加权积分为零，也即在权平均的意义上满足基本方程与边界条件，由此可得：
∫ΩRIWIdΩ = 0 （1.4a）
∫ΓRBWBdΓ = 0 （1.4b）
或统一表达为：
从而给出关于的代数方程组，得到问题的近似解。（其中、分别是域内、边界权函数）
分类
按照权函数的不同形式，加权残差法主要有以下六种基本类型：
1）最小二乘法
此法较为烦琐，但所得精度较高。
2）配点法
加权残差法中最为简单法一种，在怎样配点及怎样处理点值的方法方面又发展出：
I.最小二乘配点法
II.边界配点法
III.正交配点法
3）子域法
优点在于可将被研究对象分割为有限个区域。
4）伽辽金法
5）矩量法
此法较最小二乘法及伽辽金法为简便，精度也较配点法及子域法为好。
6）配线法
配点法是在内域或边界取一些点，使残数在这些点的值为零。配线法是对配点法的改进，取一些域上的曲线，使残数在这些曲线的积分值为零。
优点
1）原理统一性
2）不依赖于变分原理，即使泛函不存在也能解题
3）计算误差可知，残差即误差
4）计算方法简捷高效、准确通用、工作量少及程序简单
应用
加权残差法作为一种能够有效求出微分方程的近似解的数学方法，在国外已发展用于解算流体力学、热传导、扩散、对流等非机构问题；在国内，发展用于解算固体力学结构静、动强度及稳定性问题等，并结合计算机应用，卓有成效地解决了很多计算力学及工程力学的问题。
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