加速度

物理概念

速度的变化量与对应时间的比值，即速度的变化率，称为加速度（acceleration）。加速度是描述速度变化快慢的物理量，通常用a表示。加速度是矢量，方向是速度变化（量）的方向。在不同坐标系中，加速度可以分解为不同的分量。对于同一个加速度，选取不同的参考系，依据参考系间的相对运动，可以得到加速度在参考系间的变换式。在已知加速度的情况下，依据加速度的定义求解微分方程，可以得到研究对象的运动方程。

定义

速度v是时间t的函数，在t~t+t时间内，速度变化量为

则在t时间内的平均加速度（averageacceleration）定义为

当t趋近于零时，定义瞬时加速度（instantaneousacceleration），简称加速度，即

上式已运用，其中x是位移。

加速度的量纲为【L】【T】-2，常用单位为m/s2（读作米每二次方秒）。

加速度是矢量，具有大小和方向。在规定加速度的正方向后，加速度的正负号表示方向，绝对值表示大小。

加速度分解

直角坐标系分解

在固定标架的空间直角坐标系中，设质点的位置矢量r可分解为

其中x，y，z均是时间t的函数，是一组固定（不随时间变化）的正交基。则质点的速度可表示为

其中表示x对t的一阶导，表示x对t的二阶导，其它同理。则质点的加速度可表示为

设，，为沿三个坐标轴方向的加速度分量，则质点加速度可分解为x，y，z三个方向的分量。

极坐标系分解

将质点运动限制在平面并建立极坐标系，用r，θ分别表示极径与极角，用，（方向显然会改变）分别表示r，θ方向上的单位矢量。则质点的位置矢量r可表示为

上式对时间t求导，可得质点的速度

其中，，图解如下图图微元法所示。称为径向速度，称为横向速度。

v对t进一步求导，可得质点的加速度

整理，可得

称为径向加速度，称为横向加速度。则质点加速度可分解为r，θ方向上的分量。

自然坐标系分解

质点在做平面曲线运动时，可将运动轨迹分解为一系列无穷小圆弧段运动。对任意时刻t，设每一小圆弧段所属的曲率圆的曲率半径为ρ，以质点所在位置为原点，沿着该时刻v的方向设置切向单位矢量τ，对着该处曲率圆圆心的方向设置法向单位矢量n，以τ和n为基底（类似于极坐标系，这组基底的方向也会改变，对时间t的导数也有类似的规则）的坐标系即为自然坐标系。如右图所示。

在自然坐标系中，质点的速度可表示为

求导可得加速度

称为切向加速度，称为法向加速度，则质点加速度可分解为切向和法向两个方向的分量。

注意：加速度在极坐标系和自然坐标系的分解中，涉及到的相关概念需要辨析。法向加速度和径向加速度并不等同，法向加速度和径向加速度的第二项也不等同，只有在质点做圆周运动且极坐标系原点选在圆心位置时三者才相等。

加速度变换

平动变换

设S系为一惯性参考系，S’系相对于S系平动，即对应坐标轴始终相互平行地运动（直线和曲线运动均可）。设质点在S系中位矢为r（t），在S’系中位矢为r’（t’），S’系原点O’在S系中位矢为，如右图所示：

则有如下关系

根据伽利略相对性原理，，则有

由此可得

通常将称为绝对加速度（下同），称为相对加速度（下同），称牵连加速度。

定轴转动变换

设S系为一惯性参考系，S’系与S系原点重合，S’系以垂直于坐标平面的角速度ω，角加速度β相对于S系定轴转动。设质点在S系中位矢为，在S’系中位矢为。如下图所示：

则有如下关系

对于基矢量，有

其中分别表示在S和S’系下对时间求导。因为标量对时间求导不受参考系影响，因此有

代入，即

仿照上一步，再次求导可得

展开并整理，最终得到

其中称为切向加速度，称为科里奥利加速度，称为向心加速度，这三项共同构成牵连加速度。

加速度与运动

由于二维及以上运动涉及的微分方程常常极其复杂，故在此不做阐述，仅考虑一维运动情形：

当已知时，只需对做两次积分并结合边界条件即可得到运动方程；

当已知时，由

积分后可解出，进一步积分并结合边界条件即可得到；

当已知时，运用链式法则

等式左右同乘，积分后再开算数方根可得。再由

积分后可解出。

加速度的物理意义

表示质点速度变化的快慢的物理量。

举例：假如两辆汽车开始时静止，均匀地加速后，达到10 m/s的速度，A车花了10 s，而B车只用了5 s。它们的速度都从0变为10 m/s，速度改变了10 m/s。所以它们的速度变化量是一样的。但是很明显，B车的速度变化得更快一些。用加速度来描述这个现象：B车的加速度（，其中的是速度变化量）＞A车的加速度。

显然，当速度变化量一样的时候，花时间较少的B车，加速度更大。也就是说B车的启动性能相对A车好一些。因此，加速度是表示物体速度变化快慢的物理量。

注意

1.当物体的加速度保持方向与大小不变时，物体就做匀变速运动。如自由落体运动、平抛运动等;

当物体的加速度方向与大小在同一直线上时，物体就做匀变速直线运动。如竖直上抛运动;

2.加速度可由速度的变化和时间来计算，但决定加速度的因素是物体所受合力F和物体的质量M；

3.加速度与速度无必然联系，加速度很大时，速度可以很小；速度很大时，加速度也可以很小。例如：炮弹在发射的瞬间，速度为0，加速度非常大；以高速直线匀速行驶的赛车，速度很大，但是由于是匀速行驶，速度的变化量是零，因此它的加速度为零；

4.加速度为零时，物体静止或做匀速直线运动（相对于同一参考系）。任何复杂的运动都可以看作是无数的匀速直线运动和匀加速运动的合成；

5.加速度因参考系（参照物）选取的不同而不同，一般取地面为参考系；

6.当运动物体的速度方向与加速度（或合外力）方向之间的夹角小于90°大于0°时，速率将增大，速度的方向将改变；

当运动物体的速度方向与加速度（或合外力）方向之间的夹角大于90°而小于或等于180°时，速率将减小，方向将改变；

当运动物体的速度和方向与加速度（或合外力）方向之间的夹角等于90°时，速率将不变，方向改变。

7.力是物体产生加速度的原因，物体受到外力的作用就产生加速度，或者说力是物体速度变化的原因。说明当物体做加速运动（如自由落体运动）时，加速度为正值；当物体做减速运动（如竖直上抛运动）时，加速度为负值。