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勒让德多项式

数学概念

勒让德多项式是描述矩形表面和口径的另外一组多项式集合，它的优点是具有正交性。由于存在正交性条件，高阶项系数趋于零，并且增加和删除一个项对其他项没有影响。不过，这个多项式集合通常不在光学设计软件中使用。

定义
定义一
勒让德多项式的数学描述如下：
式中，
下图为几个低阶的勒让德多项式：
定义二
在区间[一1，1]带权函数ρ(x)=1的正交多项式为
它称为勒让德(Legendre)多项式。
由于（x2-1）n是2n次多项式，求n阶导数后．得到
于是，得到首项(最高次项)xn的系数
显然．首项系数为1的勒让德多项式为
性质
2.奇偶性
Pn(-x)=(-1)nPn(x)
事实上，(x2—1)n是偶函数，经过偶数次求导仍为偶函数，经过奇数次求导仍为奇函数，故由式
知，n为偶数时Pn(x)为偶函数，n为奇数时Pn(x)为奇函数，奇偶性成立。
3.递推关系
由P0(x)=1，P1(x)=x，利用上式就可推出
下图给出了P0(x)，P1(x)，P2(x)，P3(x)的图形。
4. Pn(x)在区间(一1，1)内有n个不同的实零点。
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