勒贝格空间

数学术语

在数学中，Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的ℓp空间是由p次可和序列组成的空间。它们有时叫做勒贝格空间，以昂利·勒贝格命名，尽管依据Bourbaki (1987)它们是Riesz (1910)首先介入。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。

释义

当空间维度是无穷而且不可数的时候（没有一个可数的基底），无法运用有限维或可数维度空间的办法来定义范数，但对于可积函数空间，仍然能够定义类似的概念。具体来说，给定可测空间(S,Σ,μ)以及大于等于1的实数p，考虑所有从S到域（或）上的可测函数。考虑所有绝对值的p次幂在S可积的函数，也就是集合：

集合中的函数可以进行加法和数乘：

从不等式：|f+g|≤ 2(|f|+ |g|)可知，两个p次可积函数的和，也是一个p次可积函数。另外，容易证明；闵可夫斯基不等式的积分形式说明三角不等式对成立。满足这样条件的构成一个半范数，令成为一个半赋范向量空间。之所以是半范数，是因为满足的函数f不一定是零函数。然而可以通过一套标准的拓扑方法从这个半赋范空间得到一个赋范空间：考虑

映射的零空间。

对可测函数f来说，几乎处处为零（在测度μ意义下）。所以

而N同时也是的一个子空间。设是关于N的商空间。中的某个元素f可以看作是所有和函数f相差一个N中元素的函数构成的等价类。这样定义的空间是一个赋范向量空间，称为S上函数关于测度μ的L空间。称为函数的p-范数。

需要注意的是，L空间中的元素严格来说并不是具体的函数，而是一族函数构成的等价类。而当需要将L空间元素当作函数来计算的时候，参与计算的实际是从这一族函数中抽取的一个代表函数。

与序列空间一样，在函数空间上也可以定义一致范数。定义的方法和范数一样，首先定义：

是一个半范数，取，则关于N的商空间是一个赋范向量空间，记作。

一致范数与p-范数之间存在以下关系：

可以证明，L空间是完备的空间，也即是说是一个巴拿赫空间（完备赋范向量空间）。L空间的完备性通常被称为里兹－费舍尔定理。具体的证明可以借助测度上的勒贝格积分的相关收敛定理来完成。

特例

L空间都是巴拿赫空间，但只有当p= 2的时候，L空间是希尔伯特空间。也就是说，可以为L空间中的元素定义内积。具体形式是：

其中的表示复数的共轭。这个内积是从2-范数自然诱导的内积。L空间在傅立叶级数和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

空间可以看作是L空间的特例。只要取L空间中的，测度为的计数测度，则对应的就是空间。

性质

对偶空间

一个拓扑向量空间的对偶空间是指由这个向量空间上的所有的连续线性泛函构成的泛函空间。对某个大于1的实数p，设q是满足的唯一实数，则空间Lp(S,μ)的对偶空间Lp(S,μ)与Lq(S,μ)同构。这个关系可以通过一个自然的同构映射展现：

赫尔德不等式保证了其中的泛函是良好定义并且是连续的。是一个线性映射，根据赫尔德不等式的极限情况，作为泛函的范数和f一样，这说明是一个等距映射。此外还可以证明，对偶空间L(S,μ)中的任一线性泛函对偶空间G都能表示成某个的形式，所以是一个满射。结合以上性质可以推出，是一个等距同构。在这个同构的意义下，我们常说L(S,μ)的对偶空间“是”L(S,μ)。

以上性质说明，当大于1的时候，L(S,μ)是一个自反空间：L(S,μ)的二次对偶空间（对偶空间的对偶空间）“是”它自己（在同构的意义下）。具体来说，从出发，可以构造出以下的关系：

与的复合映射jp是从L(S,μ)映射到其二次对偶空间的赋值嵌入映射：使得

从而作为两个等距同构的复合映射，jp也是等距同构。这说明Lp(S,μ)和Lq(S,μ)也是同构关系。

如果测度μ是σ-有限测度，那么Lp(S,μ)和Lq(S,μ)也是等距同构。可以证明，

是到上的一个同构。

嵌入

给定两个实数：1 ≤p

假设全集S在μ中的测度有限，以及1 ≤p赫尔德不等式有如下限制：

这说明空间可以被连续地嵌入到里面。换句话说，到上的恒等映射是有界连续映射。的算子范数就是由以上不等式取等号的情形确定的：

稠密子空间

研究某个复杂的无穷维赋范空间的时候，常常会使用一个由空间中比较“简单”的元素构成的稠密子集来逼近空间中的一个元素。假设1≤p< ∞，则空间L(S,μ)中的元素可以用测度空间(S,Σ,μ) 上的简单可积函数逼近。给定测度空间(S,Σ,μ)，其上的一个简单可积函数指的是形同：的函数。其中的aj是实数或复数系数，Aj∈Σ 是测度有限的可测集合。由勒贝格积分的构造方法可知，简单可积函数的集合在中稠密。

如果S本身也是测度空间，而μ是S上的博雷尔测度，那么可以通过乌雷松引理证明，所有S可测而且测度有限的子集对应的指示函数都可以通过连续函数逼近。所以所有的简单可积函数可以用连续函数逼近。因而可以证明，中的连续函数构成的集合在中稠密。对于更具体的空间，可以证明更加强的结果。比如说当S是n维欧几里德空间，而μ是S上的正则博雷尔测度的时候，可以证明，所有紧支撑的光滑函数的集合在( 中稠密。

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