包含因子

自动化、测量学

包含因子，又称覆盖因子，在 JJF1001 -1998 《通用计量术语及定义》中，包含因子的定义为：为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子，它在数值上等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。在不同的使用场合下，包含因子有不同的确定方法。

简介

扩展不确定度是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。它有时也被称为范围不确定度。扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度。通常用符号U表示：合成不确定度与包含因子k 的乘积，称为总不确定度（符号为U）。即

U = ku

包含因子k：为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。注：包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。

常用的概率分布与包含因子的关系：

有关概念解析

置信区间

在统计学中，一个概率样本的置信区间（Confidence interval），是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信区间展现的是，这个总体参数的真实值有一定概率落在与该测量结果有关的某对应区间。置信区间给出的是，声称总体参数的真实值在测量值的区间所具有的可信程度，即前面所要求的“一定概率”。这个概率被称为置信水平。举例来说，如果在一次大选中某人的支持率为55%，而置信水平0.95上的置信区间是（50%，60%），那么他的真实支持率落在50%和60%之区间的机率为95%，因此他的真实支持率不足50%的可能性小于2.5%（假设分布是对称的）。

如例子中一样，置信水平一般用百分比表示，因此置信水平0.95上的置信区间也可以表达为：95%置信区间。置信区间的两端被称为置信极限。对一个给定情形的估计来说，置信水平越高，所对应的置信区间就会越大。对置信区间的计算通常要求对估计过程的假设（因此属于参数统计），比如说假设估计的误差是成正态分布的。

不确定度

不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。反过来，也表明该结果的可信赖程度。它是测量结果质量的指标。不确定度越小，所述结果与被测量的真值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。在报告物理量测量的结果时，必须给出相应的不确定度，一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性。注：

1、测量不确定度包括由系统影响引起的分量，如与修正量和测量标准所赋量值有关的分量及定义的不确定度。有时对估计的系统影响未作修正，而是当作不确定度分量处理。

2、此参数可以是诸如称为标准测量不确定度的标准偏差（或其特定倍数），或是说明了包含概率的区间半宽度。

3、测量不确定度一般由若干分量组成。其中一些分量可根据一系列测量值的统计分布，按测量不确定度的A类评定进行评定，并可用标准差表征。而另一些分量则可根据基于经验或其他信息所获得的概率密度函数，按测量不确定度B类评定进行评定，也是用标准差表征。

4、通常，对于一组给定的信息，测量不确定度是相应于所赋予被测量的值的。该值的改变将导致相应的不确定度的改变。

测量不确定度和标准不确定度

表征合理的赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。这是JJF 1001—1998《通用计量术语及定义》中，对其作出的最新定义。测量不确定度是独立而又密切与测量结果相联系的、表明测量结果分散性的一个参数。在测量的完整的表示中，应该包括测量不确定度。测量不确定度用标准偏差表示时称为标准不确定度，如用说明了置信水准的区间的半宽度的表示方法则称为扩展不确定度。

不确定度的A类、B类评定及合成

由于测量结果的不确定度往往由多种原因引起的，对每个不确定度来源评定的标准偏差，称为标准不确定度分量，用符号ui表示。

（1）不确定度的A类评定

用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度A类评定；所得到的相应标准不确定度称为A类不确定度分量，用符号uA表示。它是用实验标准偏差来表征。

计算公式：

一次测量结果An的uA=S；

平均测量结果A的不确定度uA=S/sqrt(n)=

（2）不确定度的B类评定

用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度B类评定；所得到的相应标准不确定度称为B类不确定度分量，用符号uB表示。它是用实验或其他信息来估计，含有主观鉴别的成分。对于某一项不确定度分量究竟用A类方法评定，还是用B类方法评定，应有测量人员根据具体情况选择。B类评定方法应用相当广泛。

（3）合成标准不确定度

当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度，称为合成标准不确定度。它是测量结果标准偏差的估计值，用符号uc表示。方差是标准偏差的平方，协方差是相关性导致的方差。计入协方差会扩大合成标准不确定度。合成标准不确定度仍然是标准偏差，它表征了测量结果的分散性。所用的合成方法，常称为不确定传播率，而传播系数又被称为灵敏系数，用Ci表示。合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，用uc表示，它表明所评定的可靠程度。

确定方法

有效自由度法

当合成标准不确定度Uc(y)的有效自由度较小时，如果被测量 Y的可能值按中心极限定理估计接近于正态分布，并要求其取值区间具有规定的置信水准，则包含因子 k采用 t分布的临界值t ( ) 确定方法如下：

假设已知被测量 Y的最佳估计值y及其合成不确定度 Uc( y) ，并且各不确定度分量Uc( ) 是相互独立的，则有效自由度可通过韦尔奇 -萨特思韦特 (W-S) 式求得，即

i=1,2,3,...,n (1)

式 ( 1) 中是 u( ) 的自由度，且

然后，据要求的置信水平和有效自由度查 t分布表确定包含因子k，即一般情况下，常用的置信水准取 95 % ，

然而，一般情况下，计算有效自由度时，如果忽略某些分量 Uc( )而使得Uc (y)的变化不到其 1/10,那么这些 Uc( ) 可以忽略；对于比较重要的分量，将Uc(y) 的变化控制到 1/20。述的简化方法既可保证扩展不确定的精度，可快速确定包含因子的取值。

正态法

如果被测量 Y 的可能值近似为正态分布，值区间要求满足规定的置信水准确。假设被测量Y服从正态分布，然后使之中心化然后再除以方差e ，达到标准化。引入新的随机变量 T 是标准正态分布的随机变量，即 T ～ N ( 0, 1)，然后，置信水准与标准正态分布的密度函数的关系。

方差法

如果被测量Y的可能值的分布不是正态分布，是近似于其他某种分布，如均匀分布、三角分布和梯形分布等，可通过下面的方法来确定包含因子k。假设已知被测量 Y服从密度函数为f ( y) 的概率分布，则置信区间的半宽为 e，则置信水准 (a为显著性水平 )与方差分别为:

那么，被测量 y所对应的包含因子k 为

k= /

根据大量的资料和经验可以得到下列结论：重复性条件或复现性条件下的多次测量结果可按正态分布估计；如果某被测量或仪器仪表的示值分布不能判别时，可按均匀分布估计；被测量的上限和下限已知，并且靠近中心值附近的概率密度较大且呈现单峰时，可按三角分布估计；被测量在中心值附近的概率密度较大，但不能呈现单峰时，可按梯形分布估计；被测量在中心值附近的概率密度较低，两侧的概率密度越来越大时，可按反正弦分布估计；被测量仅在中心值两侧的两点取值，特别是等距离取值且其概率都为0.5，可以按两点分别估计。

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