化归法

P·罗莎创始的思想方法

在解决问题的过程中，数学往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已经解决的问题，或容易解决的问题。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法．

理论发展

匈牙利著名数学家P·罗莎在她的名著《无穷的玩艺》一书中曾对“化归法”作过生动的比拟．她写道：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”．正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上．”接着罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”．对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上．”但罗莎认为这并不是最好的回答，因为“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了．”

罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去．利用化归法解决问题的过程可以简单地用以图1表示：

应用实例

化归法是一种分析问题解决问题的基本思想方法．在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换…，或平移、旋转、伸缩…等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答．如学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的．后来我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次和一元二次方程来解的．对一元不等式也有类似的作法．又如在平面几何中我们在学习了三角形的内角和、面积计算等有关定理后，对n边形的内角和、面积的计算，也是通过分解、拼合为若干个三角形来加以解决的．再如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现的．其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了．所以，掌握化归的思想方法对于数学学习有着重要的意义．总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答．

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