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区组设计

区组设计

区组设计是组合设计研究的主要对象之一。在一个区组设计中，若每个点恰在r个区组中出现，且每个区组恰包含k个点，则称该区组设计为正则设计，k为区组大小。当区组设计中任意两个不同的点恰好同时出现在几个区组中时，称该区组设计为平衡设计，且称几为设计的相遇数。区组B与X相同时称B为完全区组。若区组设计中至少有一个区组不是完全区组，则称之为不完全区组设计。当男中有一部分区组形成集X的一个划分时，称这部分区组为一个平行类。若男可以划分为若干个平行类，则称该区组设计是可分解的。组合设计的基本问题之一是研究各种区组设计存在的充分必要条件。

定义
区组设计是组合设计研究的主要对象之一。设有限集X含v个元素，这些元素称为点或处理。又设是X的b个子集（其中可能有相同者），这些子集称为区组，并将这些区组组成的子集族记为。称序偶为一个区组设计。
当中有一部分区组形成集X的一个划分时，称这部分区组为一个平行类。若可以划分为若干个平行类，则称该区组设计是可分解的。这样定义的区组设计并不包含多少信息，为在理论研究和实际应用中得到有意义的对象，需要对区组设计加强条件。若每个区组的大小为k（平衡不完全区组设计。
这一概念由玻色（R.C.Bose）于1939年提出。在组合设计理论的发展过程中，平衡不完全区组设计受到了诸多形式的推广，其中包括成对平衡设计，可分组设计，填充、覆盖设计等。
应用
有关区组设计等基本问题之一是研究各种区组设计存在的充分必要条件。
20世纪60年代，哈纳尼（H.Hanani）解决了当k值较小时这一类设计等存在性问题。
20世纪70年代，威尔逊（R.M.Wilson）提出了成对平衡设计闭集对概念并解决了对一般k值以及v充分大时这一类设计等存在性。
平衡不完全
平衡不完全区组设计（balancedincompleteblockdesign），简称BIBD，是一类重要的区组设计。若X为v元点集，居为X的一些k元子集组成的族（这些k元子集称为区组），使得X中的任意点对恰好出现在几个区组中，则称区组设计为一个平衡不完全区组设计。
优点
（1）经济性：
全部试验水平可以不安排在同一个区组内进行，对区组的要求较低，经济的解决了试验成本。
（2）平衡性：
1）每个试验水平重复次数相同（r相同）；
2）每个区组包含的水平个数相同（k相同）；
3）任意两个水平对，在整个试验中出现的重复次数相同（λ相同）。
（3）灵活性：
可以根据k的大小，灵活、分散的进行试验。
（4）计算的严密性：
有严格的数学方法有效的消除系统误差，故试验精度高。
缺点
平衡不完全设计的缺点是：计算复杂。
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