半正多面体

阿基米德多面体

半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德体”、“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体。如将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体。类似地，若以正方体的各个顶角为圆心，以面之对角线之半为半径作弧截各边，每边得两交点。依交点于面上作与边平行的纵横呈井字形线，共有二十四个交点，即得四十八等边体之角顶，依各角顶削原体，即成四十八等边体，设原正方体棱长为a，则四十八等边体的棱长为a(√2－1)。

定义

多面体的多面角都合同，当这些多面角由两种(及)以上正多边形构成，则多面体称为半正多面体。例如把正四面体一条棱各三等分，沿三等分点从原体割去四个小正四面体，余下的多面体就成为半正多面体，它的多面角都合同，这些多面角都由1个正三角形，2个正六边形构成。这一半正多面体我们记为3·62。

阿基米德发现了全部13个可能的所谓半正多面体。正多面体的面都是同一类型的正多边形，而半正多面体是一个凸多面体，它的面也是正多边形，但并非全都是同一种类型。例如，如果我们从一个立方体a的8个角上各切掉一个边长为的四面体，结果得到的图形就是一个半正多面体，或称阿基米德多面体，其表面由8个等边三角形和6个正八边形构成。

种类

命题半正多面体（表1）有13种：

我们用表示每一多面角由r个正m边形，s个正n边形，t个正p边形构成的半正多面体。

命题半正多面体只有13种。

证明我们记每一多面角顶点围绕s个正多边形，其中s1个正r1边形，s2个正r2边形，......sn个正rn边形，s=s1+s2+...+sn，又设此半正多面体中共有个正r1边形，个正r2边形，....，个正rn边形，则

而

又

把(i)~ (iii)代人Euler示性数公式v+f=e+2，并进行整理，得到半正多面体的特征方程：

性质

半正多面体有以下性质:

性质1，这是显然的。

性质2中至少有一个应小于6。

证明反证法。如果所有，那么特征方程将是：

故v<0，引起矛盾。

性质3s<6。

证明直接从特征方程计算，由性质1得

解得s<6。

综合性质1和性质3，我们有

（更加细致的讨论请参考相应书籍）。