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半正定矩阵

数学名词

半正定矩阵，是正定矩阵的推广。实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，都有X'AX≥0.

定义
正定矩阵的研究最先出现于二次型与Hermite型的研究中，而且只限于对实对称矩阵或Hermite矩阵的使用。随着数学本身及其它学科(如数学规划、投入产出的矩阵理论、现代控制等)的需要,有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。
广义定义
定义1 设A是n阶方阵，如果对任何非零向量X，都有X'AX≥0，其中X'表示X的转置，就称A为半正定矩阵。
狭义定义
（常用定义）
定义2 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≥0，则称A为半正定矩阵，称X'AX为半正定二次型。（其中，X'表示X的转置。）
注：1）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX>0，则称A为正定矩阵，称X'AX为正定二次型。
2）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX<0，则称A为负定矩阵，称X'AX为负定二次型。
3） 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≤0，则称A为半负定矩阵，称X'AX为半负定二次型。
4）设A为实对称矩阵，若A既不是半正定又不是半负定，则称A为不定矩阵，称X'AX为不定二次型。
5） 设A为Hermite矩阵，若对于每个非零复向量X，都有X*AX≥0，则称A为半正定复矩阵。（其中，X*表示X的共轭转置。）
性质
1.半正定矩阵的行列式是非负的。
2.两个半正定矩阵的和是半正定的。
3.非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
判定
定理 设A是n阶实对称矩阵，则下列的条件等价：
1.A是半正定的。
2.A的所有主子式均为非负的。
3.A的特征值均为非负的。
4.存在n阶实矩阵C，使A=C′C.
5.存在秩为r的r×n实矩阵B，使A=B′B.
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