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协变张量

所有指标都是协变指标的张量

协变张量(covariant tensor)是指所有指标都是协变指标的张量。既有协变又有逆变的张量为混合张量。

（协变）张量的定义
坐标系的变换关系
仅讨论笛卡儿右手直角坐标系。
旧坐标系： 单位基矢量： ；
新坐标系： 单位基矢量： ，如图1（a，b）所示。
新旧基矢量夹角的方向余弦：
坐标系的(标架)变换关系(旧表新)：
其中
为变换系数矩阵，（2）也可表示为
坐标系的(标架)变换关系(新表旧)：
其中
为矩阵(3)的逆，(4)也可表示为
标量(纯量Scalar)
标量在坐标变换时其值保持不变，即满足
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。
问题：时间是否标量?(答案：是标量，可以用一个数字表示。)
注 标量是0阶张量。
协变矢量
矢量在坐标变换时一般要改变，满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量：
设为任意矢量，其在新、旧坐标系下的(协变)分量分别为 和 ，即 ，所以
得
而
得
可见矢量的变化规律与坐标架变换(2)一致，故为协变。代人上式(换哑指标)，
得
比较上式两边，得
即该变换是正交的。
推广到协变张量
将矢量定义加以推广：(增加指标和相应的变换系数)
对于直角坐标系 ，有9个量 按照(协变)关系
变换成 ，中的9个量 ，则此9个量定义一个二阶(协变)张量。
各阶(协变)张量小结：
——零阶张量(标量)
——一阶张量(向量)
——二阶张量
——三阶张量
——n阶张量
二阶张量的另一种定义：
二阶张量T是把任意一个矢量 变换成另一个矢量b的线性变换，表达式为
而且具有下列线性性质：
加法：
标乘： (其中 )。
向量空间的张量代数
向量空间的张量代数(tensor algebra of vector space)是由向量空间与其对偶空间的张量积直和所构成的代数。向量空间V的 型张量空间 定义为
其中 ， 是V的对偶空间，对于这样一些向量空间取直和
则在张量积的运算之下，T(V)成为一个代数，称为向量空间V的张量代数。
T(V)中的元素称为张量，它是各个 中的元素关于R的有限线性组合， 中的元素称为r阶反变张量， 中的元素称为s阶协变张量， 中的元素称为 阶齐次张量。
设 与 分别是V和V*彼此对偶的基底，则
是 的基底。因此， 型张量x可以惟一地表成
其中 称为张量x在上述基底下的分量。
处理张量时，通常采用爱因斯坦的和式约定：在一个单项表达式中出现重复的上、下指标，表示该式关于这个指标在它的取值范围内求和，而略去和号不写，采用这个约定，上述张量x可写成
设x是 型张量，y是 型张量，则它们的积 是 型张量。
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