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协方差矩阵

统计学与概率论概念

在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

概念
设 为n维随机变量，称矩阵
为n维随机变量 的协方差矩阵（covariance matrix），也记为 ，其中
为 的分量 和 的协方差（设它们都存在）。
例如，二维随机变量 的协方差矩阵为
其中
由于 ，所以协方差矩阵为对称非负定矩阵。
性质
协方差矩阵具有如下性质：
（1） .
（2） ，其中A是矩阵，b是向量。
（3） 。
应用
协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究。以二维随机变量 为例，由于
引入矩阵
，
及 的协方差矩阵
由此可得
由于
于是的概率密度
此式可以推广到n维正态分布的情形。
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