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单位阶跃函数

单位阶跃函数

单位阶跃函数又称单位布阶函数目前有三种定义，共同之处是自变量取值大于0时，函数值为1；自变量取值小于0时，函数值为0，不同之处是，自变量为0时函数值各不相同。

定义
第一种定义：自变量为0时函数值不确定或不定义，见北京大学吴崇试的数学物理方法第二版117页9.4式，南京大学梁昆淼数学物理方法第四版83页5.3.6式，陕西理工学院龙姝明数学物理方法& Mathematica79页5.41式）
第二种定义：自变量为0时函数值为1/2，见吴大正信号与线性系统分析第四版13页1.4-3式
第三种定义：自变量为0时，函数值为1。见吴大正信号与线性系统分析第四版102页3.2-4式关于单位阶跃序列的讨论。
从傅里叶积分变换角度看，第二种定义来得更自然，它正好可以用“符号函数与1之和”再除2来定义，而且计算逆傅里叶变换时我们必须用到这个定义。如果考虑半域问题，例如Laplace积分变换，即可以采用第一种定义，也可以采用第三种定义或 H(x) = 1/2(1+sgn(x))。
它是个不连续函数，其「微分」是狄拉克δ函数。它是一个几乎必然是零的随机变数的累积分布函数。
事实上自变量为0时的函数值在函数应用上并不重要，可以任意取。
这个函数由奥利弗·黑维塞提出。
物理意义
从物理角度讲，引入单位阶跃函数一是为了解决单位冲激函数（狄拉克Delta函数）的积分；二是系统在输入信号激励下的响应问题中，为了区分信号加入系统前后两个时点。信号加入系统开始起作用的时点称为“0时刻”后沿，记为0+，t=0+，就是t>0；输入信号要加而未加入的时点称为0时刻前沿，记为0-，t=0-,就是t<0。因而物理上一般不介入（0- ，0+）时区，因为这个时区内说不清输入信号到底加入系统了没有，实际上这个时区的宽度也不定，数学上可以认为它趋于0。于是单位阶跃函数在自变量为0处，即（0－，0+）区间上的值不予定义。这就是物理上采用第一种定义的缘故。
卷积性质
f(t)*u(t)=1/D[f(t)](D为微分算子)
这一性质不难通过Delta函数的卷积性质和卷积运算的积分性质证明。
f(t)*δ(t)=f(t)且有1/D[f(t)*δ(t)]=f(t)*1/D[δ(t)]=f(t)*u(t)
所以：f(t)*u(t)=1/D[f(t)]
u(t)*u(t)=t×u(t)
根据积分性质，u(t)*u(t)相当于对u(t)积分，所以结果为斜升函数r(t)=t×u(t) (t≤0时为零)
常用推论：u(t+a)*u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b)
首先可证明：
如果有：f(t)*g(t)=h(t)，则有
f(t+a)*g(t+b)=h(t+a+b)
这一定理称”卷积的平移性质“。
所以，令f=g=u, 则h = r(t) = t×u(t)，可得
u(t+a)*u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b)
应用
在对梁的弯曲进行研究时，经常要用到弯矩方程。常用的弯矩方程表达式通常是一个分段函数表达式，这给理论研究带来了许多冗繁的工作。通过单位阶跃函数，可以把在集中载荷作用下的分段函数的弯矩方程表达式用一个整体方程表示出来，极大的简化了求弯曲变形的计算工作量，同时还具有一定的理论价值。
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