单向方差分析

由菲希尔和同事开发的检验

单向方差分析亦称单因子方差分析、F-检验或F-比值，是由菲希尔(R.A.Fisher)和他的英国同事开发的。这个检验以Fisher的第一个字母命名。当有三个或更多个独立组和仅有一个独立变量时采用单向方差分析。它同时检验这些组平均数之间的差别显著性。单向方差分析的目标是求出这些组平均数之间的变化是否也是偶然的原因。单向方差分析是一种方式分组的方差分析，单因子析因试验数据的统计分析。单向方差分析的基本问题估计和比较多个等方差正态总体的均值。用于单个实验变量中两种处理以上的独立随机样本，叫做完全随机设计(单向)，在这种设计中的F检验，即为单向方差分析。

基本概念

单向方差分析又称单因素方差分析，是最简单的方差分析方法。所谓的单向(One-Way)就是分析数据中只有一个自变量(又叫因素)。在完全随机化的(completely randomized)单向方差分析中，有三个方差：总方差(SSt)、组间方差(SSb)和组内方差(SSw，即误差)。三个方差之间的关系是：。各个方差的计算公式及自由度为：

公式中，n是独立样本的容量，k是处理组数，是各个独立组样本观测值的平均数，(g是grand的缩称)是各个独立组所有观测值的平均数，属第j组第i个数值，是第j组观测值的平均数。在实际计算中，我们只需求出两个方差，再根据三个方差之间的数学关系就可以求出另一个方差。它们的均方公式为各自的方差除以各自的自由度：

(代表总均方，代表组间均方，代表组内均方)，也可以写成：

单向方差分析除了要求满足方差分析的一般条件之外，还要求各组独立且各观测值独立。单向方差分析中，F统计量为组间均方与组内均方(即误差均方)之比：

当零假设成立时，F统计量服从自由度为的F分布。F统计量检验只能告诉我们在比较的各组(比如三组)平均数中是否至少在两个组之间有显著差异性存在，但是不能告诉我们显著差异性具体表现在哪个或哪些成对组之间。因此，当方差分析发现不同组之间有显著性差异时，如果想要准确知道显著性差异的位置，就需要利用事后多重比较(post hoc multiple comparisons)。组间配对比较的次数为。譬如，如果自变量有三个水平，则需要比较的配对数为三对。事后多重比较的方法有多种，下面介绍最为常用的一种方法——Scheffe检验(the Scheffe test)。

检验

Scheffe检验可控制整体水平，具有很强的稳健性（robust），也是最为保守的事后比较方法之一。如果两组数值的平均数差异的绝对值大于Scheffe检验临界值，我们可以认为两组平均数有统计上的显著差异存在。相反，如果两组数值的平均数差异的绝对值小于Scheffe检验临界值，则可以认为两组平均数没有统计上的显著差异。计算Scheffe临界值的公式为：

其中，CV(critical value)代表Scheffe临界值，k是处理组数(自变量的组数或水平)，是在水平上来自自由度为(如果各组样本容量不等，则的F分布的一个值，MSw代表组内均方差，分别表示比较的两个独立样本的容量(如果样本容量相等，可用n代替)，是Seheffe法平均数标准误差，与各独立样本容量的大小有关。当各组样本容量相等时，各配对比较的样本平均数的标准误差相等。当时，可以断定A和B两组的平均数有显著性差异。相反，如果，则认为A和B两组的平均数没有显著性差异。

应用举例

为了计算的方便，下面的例子采用小样本。在实际研究中，要采用更大的样本，并要在SPSS统计中对样本进行方差齐性检验。

某高校英语教师对理科、文科和英语专业各10名大学一年级学生进行了听力水平测试(满分为20分)，成绩如下：

文科组(组1)听力成绩：13 12 15 13 12 11 10 8 7 5

理科组(组2)听力成绩：17 16 15 14 14 11 13 12 10 8

英专组(组3)听力成绩：16 18 12 15 13 10 16 15 17 18

试问：三个不同专业的学生听力成绩是否有显著的差异?

本题涉及三个不同类型组在同一个连续性因变量(听力成绩)方面的比较，符合单向方差分析的条件。

【解】已知：n=10，k=3。根据原数据求得：将结果代入公式，求得

根据F统计量公式，求得

根据，查F分布表，得到临界值=3.35。统计量F=6>=3.35，所以p<0.05，拒绝零假设，即认为三个组之间有显著的差异。

本题中各独立样本的容量相等，所以各组配对比较时的Scheffe临界值相等。我们知道n=10，k=3，=3.35，MSw=8.089，据此求得Scheffe临界值：