单曲面

直线面

单曲面（single curved surface）一种直线面，单曲面的连续两素线彼此平行或相交，位于同一平面内，因而是可展曲面。所以，单曲面又称为可展直线面。工程上常见的有柱面、锥面及切线曲面。

简介

一条直线或曲线在空间运动，它所经过的轨迹称为曲面。我们把形成曲面的这条动线叫做曲面的母线，母线运动中的任一位置称为曲面的素线。母线在运动时往往要满足一定的条件，把对母线运动起约束作用的线或面称为导线或导面。图1中，母线为直线，起始位置为A0B0，运动时母线始终平行于直线AB，方向保持不变，A0点始终在曲线D上，AB和D就称为导线。母线运动时的任一位置（如AiBi）称为素线。

如果母线按一定规律运动，则形成规则曲面，否则便形成不规则曲面。由直母线形成的曲面称为直线面，其中，如果连续两素线（无限接近的相邻两素线）共面，称为单曲面，比如柱面和锥面；否则称为扭曲面，比如双曲抛物面。由曲母线形成的曲面称为曲线面，其中，如果运动时母线的形状和大小不发生变化，称为定线曲面，比如球面和环面；否则称为变线曲面，如三轴椭球面和车身曲面等。

分类

单曲面一般有柱面、锥面、盘旋面三大类。

1．柱面

柱面是钣金制件中最常用的一种曲面，它的形成如图2所示，直母线AB沿一曲导线D运动，同时始终与导线MN平行，所形成的曲面称为柱面，其中常见的柱面有两种，即圆柱面和椭圆柱面（图3）。

当用一与柱面轴线垂直的平面把柱面截断时，如果交线为圆，则为圆柱面，如果交线是椭圆，则为椭圆柱面。另外，若圆柱或椭圆柱面的底面与其轴线垂直，称为正圆柱面或正椭圆柱面，否则称为斜圆柱面或斜椭圆柱面。图3中，图3中a）和c）分别为正圆柱面和斜圆它的形成如图2所示，直母线AB柱面；图3中b）和d）分别为正椭圆柱面和斜椭圆柱面。

2．锥面

锥面是钣金制件中另一种常用曲面，直母线沿一曲导线D运动，同时始终通过导线平面外一定点S，所形成的曲面称为锥面，其中常见的有圆锥面和椭圆锥面。

3．盘旋面

盘旋面可由两种方法形成。直母线运动时始终与一空间曲线AB相切，所形成的曲面为盘旋面，AB曲线称为盘旋面的脊线或回折棱。盘旋面的另一种形成方法：动平面P沿着两不共面的曲导线AB和CD运动，两切点Ⅰ和Ⅱ连线的集合也形成盘旋面，这时盘旋面是切平面族的包络曲面。两种方法所形成的盘旋面实际上是同一种曲面，它们之间可以互相转换。

盘旋面在生产中也有着广泛的应用，比如多种多样的面板、容器和变形接头等。

几何特征

1、曲面的两相邻素线皆为相交直线（或平行直线）。

2、曲面可展开为一平面。

3、曲面一直纹上各点具有公共的切平面，一直纹上各点的法线位于一公共的法平面内。

4、曲面上各点的总曲率为零，即曲面由抛物型点构成。

5、过空间一点S，作直线与曲面的索线平行，则形成该曲面的导锥面。曲面上一素线m的切平面σ与导锥面上对应素线ms的切平面σs相互平行。

6、曲面的各素线是曲面上一条曲线的切线（一般情况下），这条曲线L称为曲面的回折校或脊线。曲面以脊线为界分为两叶。任一平面ε与曲面的截交线C以脊线上的交面内点K为尖点。

所以一般情况下的可展曲面又称为切线曲面。

7、曲面的各索线的切平面构成一个切平面族，它就是曲面脊线的密切平面族。反之，平面作单参数运动形成的平面族，其包络为一切线曲面，其特征线即为曲面的脊线。

8、脊线L上一点的渐伸线是一条空间曲线。它位于曲面上，并和曲面各直纹垂直，所以脊线的渐伸线族与直纹组成曲面的正交网。

单曲面的展开

下面研究柱面、锥面和回折棱曲面的展开图作法。

A．作柱面的展开图

作柱面展开图，就象作棱柱侧面展开图一样，也是用正截面法和侧滚法。

在这两种情况下，柱面用内接于该柱面的棱柱面代替（近似）。图1和图2分别表示用正截面法和侧滚法作柱面侧表面的展开图。

作回转柱面展开图，常用正截面法，因为这时不必用棱柱面代替圆柱面。

展开图上（见图1）[A0 A0]的长度等于正截面的展开长度。中间点B0 、C0 、…、K0 、…与曲面α各B、C、…、K、…对应，其等分数与柱面正截面圆的等分数相同。这时提高了展开图的精度，因为不是用近似的柱面解题。

图2是用侧滚法所画柱面α的侧面展开图。

B．作锥面的展开图

求作锥面展开图的问题，与作棱锥侧面展开图的情况相同，也使用三角形法。为此，锥面用内按于它的棱锥面近似地代替。

图3表示了内接于已知锥面α的棱锥面SABCDEF…的展开。把图形S0A0B0C0D0E0F0A0当作锥面的展开图。内接棱锥的侧面数量愈多，锥面的展开实形与近似展开图之间的差别就愈小。

如果给出正圆锥表面，则其侧面的展开图是圆的扇形，其半径等于圆锥面的母线长度l=∣SA∣，中心角

φ =360°r*/l

这里r ——圆锥底圆半径。

C．作回折棱面的展开图

作回折棱面的展开图同作锥面展开图一样采用三角形法。图4上给出了回折棱面的投影（图4）。

在回折棱m上标出一系列点1、2、3、4、…，过这些点的投影作mˊ和mˊˊ的切线[1 11]、[2 21]、[3 31]、[4 41]、…，在相邻母线（切线1 11、2 21、3 31、…），所限定的部分曲面内，引对角线2 11、3 21、…，将每个曲线四边形分为两个“三角形”。

如果点1和2、2和3、3和4、…之间的距离足够小，则与顶点110、210、310、…（以及20、30、40、…）相对的“三角形”各边业可以看作是直线。

为了作出与已知曲面α近似的多边形曲面的展开图，我们求出这些三角形各边的实长。由三角形的三个边画出三角形的实形，先由Δ10 20 110开始，按照图4的罗马字的顺序依次画出其它三角形的实形。将10、20、30、…和110、210、310、…各点用光滑曲线连接。图形α0（1020304050510410310210110）就是曲面伐的近似展开图。

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