单输入单输出系统

单变量系统

单输入单输出系统(SISO)也称为单变量系统，系统的输入量与输出量各为一个。经典控制理论主要就是研究这一类系统。多输入多输出系统(MIMO)也称为多变量系统，系统的输入量与输出量多于一个。现代控制理论适用于这类系统的分析与综合。其数学工具为建立在线性代数基础上的状态空间法，这种方法是在时间域内进行的，而时域分析法对控制过程来说是最直接的。

简介

若系统只有一个输入和一个输出，则这个系统为单输入-单输出系统或单变量系统。有两个以上输入或两个以上输出，则为多输入-多输出系统或多变量系统。

单输入-单输出系统的描述

为了导出单输入单输出系统的数学关系，设初始时刻，假定系统的输出仅由输入唯一确定，即给定了一个就唯一确定了系统的输出，称系统初始具有松弛性。

如果所讨论的系统是物理系统，当系统在时不储有能量，则容易看出，系统输出完全由外部输入唯一确定，即系统初始具有松弛性。例如，对于电阻、电容、电感构成的电网络，在初始时刻，若电容的端电压为零，电感中的电流也为零时，电网络的初始能量为零，即电网络初始具有松弛性。

对于一个单输入-单输出非时变线性系统，且具有初始松弛性，可用如下的微分方程描述

如对上式进行拉氏变换，若初值为零，则其传递函数为

即为系统的传递函数。

若是真有理分式(即分子多项式的次数小于分母多项式的次数)，则系统称为有限维非时变线性系统；若分母次数为n，则称为n维非时变线性系统，有时也称为n阶非时变线性系统。

传递函数分子多项式的零点，称为系统的零点；分母多项式即为系统的特征多项式，分母多项式的零点(特征根)称为系统的极点；特征多项式的次数，称为系统的维数(或阶数)。

由系统的高阶微分方程的描述也很容易得到系统的传递函数。

相关结论

对于线性定常单输入单输出系统，有如下一些结论。

(1)单输入单输出系统既能控又能观的充要条件是其传递函数g(s)不存在零极点相消现象。

由于非奇异变换不改变系统的传递函数，因此，可以仅讨论传递函数的特征值规范型实现。于是，上述结论可以说明如下：

先讨论对角线规范型的情况，这时有

式中，为系统的互不相同的特征值。

系统对应的传递函数为

根据对角线规范型能控、能观性判据，系统既能控又能观的充要条件是和都不为0，这意味着传递函数g(s)不存在零极点相消现象，因为当传递函数g(s)存在零极点相消现象时，被消极点对应的。

再讨论约当规范型的情况。为讨论方便，这里具体地设定为3重特征值，即

它对应的传递函数是

由约当规范型能控、能观性判据，系统既能控又能观的充要条件是，这同样意味着传递函数g(s)不存在零极点相消现象，因为当传递函数g(s)存在零极点相消现象时，必有。

(2)单输入系统状态完全能控的充要条件是由控制到状态的传递关系不存在零极点相消现象。

对于对角线规范型(1)的情况，由控制到状态的传递关系是

根据对角线规范型能控性判据，系统状态完全能控的充要条件是，这意味着由控制到状态的传递关系不存在零极点相消现象。因为由式(3)可知，当传递关系存在零极点相消现象时，被消极点对应的bi=0。

对于约当规范型(2)的情况，由控制到状态的传递关系是

由约当规范型能控性判据，系统状态完全能控的充要条件是b3≠0，这同样意味着由控制到状态的传递关系不存在零极点相消现象。因为由式(4)可知，当存在零极点相消现象时，必有b3=0。

(3)单输出系统状态完全能观的充要条件是由状态到输出的传递关系不存在零极点相消现象。

这一结论可由结论(2)的对偶关系得出。

(4)单输入单输出系统既不能控又不能观的充分条件是其预解矩阵存在零极点相消现象。

该结论也可以用与上面类似的方法给以说明，这里不再详述。

控制理论

控制理论是研究系统控制和动态一般规律的学科，动态指系统的行为随时间而变化的现象，常用一些适当的作为时间函数的变量来描述。

早期的控制理论多是研究单输入、单输出的线路系统，关心的问题主要是稳定性、响应速度、频率特性等问题。20世纪50年代末以后，注意力转向多输入、多输出系统(线性的或非线性的)的研究，理论上取得很大进展，这些成果称为现代控制理论，而将早期的理论称为古典控制理论。现代控制理论还可用来描述一般复杂系统，为系统理论提供理论基础。

控制理论不直接研究现实的具体系统，而是用数学方法讨论几类典型系统的模型。因此，应用控制理论的结果不受系统物理特性的局限。

控制理论是一门有广泛应用和重大实用价值的理论.是研究在一定限制条件下如何控制系统以实现预期目标的一门理论.控制是用来影响动态系统行为的一种手段，对系统的控制是根据对其输出的实际观测所做出的决策再由输入的作用来实现的，目的是使系统实现稳定和预期目标的运动.控制理论属于技术科学范畴，可区分为基础研究和应用研究两个层次.在基础研究层次中，强调采用精确的数学语言来阐述控制的特性和原理，最终从数学上建立分析和设计控制系统的理论和方法.在应用研究的层次中，着重于建立控制系统的工程化分析和设计方法，将控制规律转化为可在计算机上实现的控制算法和相应的软件，以及针对实际控制系统的具体特点采用控制理论的概念和方法解决实际问题。

控制理论的最早研究可追溯到1932年奈奎斯特(Nyquist，H.)对反馈放大器稳定性的分析。他在其著名的论文中提出了一种以系统频率响应形式表达的判据，可用于判定反馈控制系统是否稳定，以及如何通过修正系统的特性使反馈系统由不稳定变为稳定或改善其稳定度.1940年，伯德(Bode，H.W.)进一步引入了可使频率响应特性的运算和作图简化的对数增益图和线性相位图.1948年，埃文斯(Evans，W.R.)提出了根轨迹法，使以复变量理论为基础的分析和设计反馈控制系统的方法更趋成熟.与此同时，维纳(Wiener，N.)和柯尔莫哥洛夫(Колмогоров，А.Н.)于1940年分别提出了基于频率域分析的信号处理的滤波和预测方法，它和建立在奈奎斯特稳定判据与埃文斯根轨迹法基础上的控制理论一起形成了经典控制理论。1948年，维纳尝试把以工程问题为背景的经典控制理论的概念、原理和方法扩展到研究生物机理和神经系统，他的专著《控制论，或关于动物和机器中控制与通信的科学》标志着一门独立学科“控制论”的诞生.1954年，钱学森的专著《工程控制论》问世，成为控制论发展的又一个里程碑.经典控制理论的主要研究内容包括：单输入-单输出线性定常系统的预测、滤波和估计的原理和方法;单输入-单输出线性定常系统的稳定性、调节和补偿的原理和方法;特殊单输入-单输出线性系统的快速控制的原理和实现方法等。

20世纪50年代，贝尔曼(Bellman，R.)在研究动态规划中提出了“最优性原理——最优过程的任何最后一段都是最优的”，成为最优过程应当满足的必要条件。紧接着，庞特里亚金(Понтрягин，Л.С.)等人提出了作为最优控制问题基本原理的“最大值原理”。最大值原理从另一角度建立了最优控制应满足的必要条件，并从理论上完全解决了线性多变量系统的快速控制问题.20世纪60年代初，卡尔曼(Kalman，R.E.)将状态空间方法系统地引入到控制系统的研究中，提出了揭示控制系统结构特性的两个基本概念“能控性”和“能观测性”。卡尔曼并和布西(Bucy，R.S.)一道，建立了基于时间域分析的新的预测、估计和滤波理论——卡尔曼滤波理论，这些概念、方法和理论的出现，标志着控制理论进入了现代控制理论的新阶段.随着现代控制理论的发展，相继形成了多个独立的分支，如系统建模与系统辨识、线性系统理论、最优控制理论、鲁棒控制理论、分布参数系统理论、微分对策、适应控制以及非线性控制系统理论等。

控制理论是在重大工程问题的需求推动下形成和发展起来的.经典控制理论的形成和发展受到了通信技术和火炮技术的深刻影响，现代控制理论则是在远程火箭技术与航天技术的推动下并受到电子计算机技术的促进而发展形成的.现今，现代控制理论的方法、概念和原理正在日益渗透到非工程系统领域，诸如社会经济系统、生物和生态环境系统、现代管理系统以及集工程和管理为一体的更为复杂的系统。这类复杂系统的基本特征，一方面表现为系统本身所在环境和运行机制的不完全确知性，另一方面表现在运行过程中总是包含有人的参与。对于这类复杂系统，目前已经发展了一些有效的控制方式，如分散控制方式，把计算机作为一个环节直接进入系统运行过程的控制方式，以及人的经验和行为直接参与系统运行过程的控制方式等。但是，针对这类复杂系统的更为一般的分析、控制和综合理论还远未形成。

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