卡方检验

假设检验方法

卡方检验，是用途非常广的一种假设检验方法，它在分类资料统计推断中的应用，包括两个率或两个构成比比较的卡方检验；多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。

基本原理

卡方检验就是统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度，实际观测值与理论推断值之间的偏离程度就决定卡方值的大小，如果卡方值越大，二者偏差程度越大；反之，二者偏差越小；若两个值完全相等时，卡方值就为0，表明理论值完全符合。

注意：卡方检验针对分类变量。

步骤

（1）提出原假设：

H0：总体X的分布函数为F(x).

如果总体分布为离散型，则假设具体为

H0：总体X的分布律为P{X=xi}=pi， i=1，2，...

（2）将总体X的取值范围分成k个互不相交的小区间A1，A2，A3，…，Ak，如可取

A1=（a0，a1]，A2=(a1，a2]，...，Ak=(ak-1,ak)，

其中a0可取-∞，ak可取+∞，区间的划分视具体情况而定，但要使每个小区间所含的样本值个数不小于5，而区间个数k不要太大也不要太小。

（3）把落入第i个小区间的Ai的样本值的个数记作fi，成为组频数（真实值），所有组频数之和f1+f2+...+fk等于样本容量n。

（4）当H0为真时，根据所假设的总体理论分布，可算出总体X的值落入第i 个小区间Ai的概率pi，于是，npi就是落入第i个小区间Ai的样本值的理论频数（理论值）。

（5）当H0为真时，n次试验中样本值落入第i个小区间Ai的频率fi/n与概率pi应很接近，当H0不真时，则fi/n与pi相差很大。基于这种思想，皮尔逊引进如下检验统计量，在0假设成立的情况下服从自由度为k-1的卡方分布。

检验方法

独立样本四格表

自由度为1

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为

若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出检验统计量的值。

的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

当表中数据a，b，c，d都不小于5时，可以查阅下表来确定结论“X与Y有关系”的可信程度：

例如，当“X与Y有关系”的的值为6.109，根据表格，因为5.024<6.109<6.635，所以“X与Y有关系”成立的概率在1-0.01到1-0.025之间。

如果性别和化妆与否没有关系，四个格子应该是括号里的数（期望值，用极大似然估计55=100*110/200，其中110/200可理解为化妆的概率，乘以男人数100，得到男人化妆概率的似然估计），这和实际值（括号外的数）有差距，理论和实际的差距说明这不是随机的组合。

应用拟合度公式=129.3>10.828

显著相关，作此推论成立的概率p>0.999,即99.9%。

注：独立四格表的拟合度公式可以写成n(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

总结：独立四格表资料检验

四格表资料的卡方检验用于进行两个率或两个构成比的比较。

1. 专用公式：

若四格表资料四个格子的频数分别为a，b，c，d，则四格表资料卡方检验的卡方值=n(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，（或者使用拟合度公式）

自由度v=（行数-1）（列数-1）=1

2. 应用条件：

要求样本含量应大于40且每个格子中的理论频数不应小于5。当样本含量大于40但有1=<理论频数<5时，卡方值需要校正，当样本含量小于40或理论频数小于1时只能用确切概率法计算概率。

资料检验

（自由度df=(C-1)(R-1)）

行×列表资料的卡方检验用于多个率或多个构成比的比较。

1. 专用公式：

r行c列表资料卡方检验的卡方值=n[(A11/n1n1+A12/n1n2+...+Arc/nrnc)-1]

2. 应用条件：

要求每个格子中的理论频数T均大于5或1

列联表资料检验

同一组对象，观察每一个个体对两种分类方法的表现，结果构成双向交叉排列的统计表就是列联表。

1. R*C 列联表的卡方检验：

R*C 列联表的卡方检验用于R*C列联表的相关分析，卡方值的计算和检验过程与行×列表资料的卡方检验相同。

2. 2*2列联表的卡方检验：

2*2列联表的卡方检验又称配对记数资料或配对四格表资料的卡方检验，根据卡方值计算公式的不同，可以达到不同的目的。当用一般四格表的卡方检验计算时，卡方值=n（ad-bc)^2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，此时用于进行配对四格表的相关分析，如考察两种检验方法的结果有无关系；当卡方值=（|b-c|-1）2/(b+c)时，此时卡方检验用来进行四格表的差异检验，如考察两种检验方法的检出率有无差别。

列联表卡方检验应用中的注意事项同R*C表的卡方检验相同。

代码实现

在分类资料统计分析中我们常会遇到这样的资料，如两组大白鼠在不同致癌剂作用下的发癌率如下表，问两组发癌率有无差别？

这是表中最基本的数据，因此上表资料又被称之为四格表资料。卡方检验的统计量是卡方值，它是每个格子实际频数A与理论频数T差值平方与理论频数之比的累计和。每个格子中的理论频数T是在假定两组的发癌率相等（均等于两组合计的发癌率）的情况下计算出来的，如第一行第一列的理论频数为71*(91/113)=57.18，故卡方值越大，说明实际频数与理论频数的差别越明显，两组发癌率不同的可能性越大。

卡方检验要求：最好是大样本数据。一般每个个案最好出现一次，四分之一的个案至少出现五次。如果数据不符合要求，就要应用校正卡方。

利用SAS（统计学软件）分析结果如下：

data kafang;

input row column number @@;

cards;

1 1 52

1 2 19

2 1 39

2 2 3

;

run;

proc freq;